గురుత్వాకర్షణ

భావన కోర్

న్యూటన్ గురుత్వ నియమం నుండి ఉపగ్రహ కక్ష్యల వరకు.

న్యూటన్ సార్వత్రిక గురుత్వ నియమం

F = Gm₁m₂/r² G = 6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg²

F ∝ m₁m₂ (ద్రవ్యరాశులకు అనుపాతంలో)

F ∝ 1/r² (దూర వర్గానికి విలోమ అనుపాతంలో)

ఈ నియమం అన్ని పదార్థాల మధ్య వర్తిస్తుంది — సార్వత్రికం, ఆకర్షణ మాత్రమే (వికర్షణ లేదు)

గురుత్వ త్వరణం g మరియు దాని మార్పు

భూ తలంపై: g = GM/R² = 9.8 m/s²

ఎత్తు h వద్ద: g' = g(1-2h/R) (h << R)

g_h = GM/(R+h)² = g·R²/(R+h)²

లోతు d వద్ద: g_d = g(1-d/R)

అక్షాంశ θ వద్ద: g_eff = g - Rω²cos²θ (భూమి భ్రమణ వల్ల)

కేప్లర్ నియమాలు

1వ నియమం (దీర్ఘవృత్త): ప్రతి గ్రహం సూర్యుడిని ఒక నాభిగా కలిగిన దీర్ఘవృత్త కక్ష్యలో తిరుగుతుంది

2వ నియమం (క్షేత్రఫల): సమాన సమయంలో సమాన క్షేత్రఫలాలు — గ్రహం వేగం కక్ష్య అంశాన్ని బట్టి మారుతుంది

3వ నియమం (ఆవర్తన):

T² ∝ a³ T²/a³ = స్థిరాంకం

గురుత్వ స్థితి శక్తి

రెండు ద్రవ్యరాశుల మధ్య గురుత్వ స్థితి శక్తి:

U = -Gm₁m₂/r

ఋణాత్మక విలువ: వ్యవస్థ అనుసంధానంలో ఉంది (విడిపోవడానికి శక్తి అవసరం)

r → ∞ అయినప్పుడు U → 0 (సూచన స్థానం అనంతం)

పారిపోయే వేగం (Escape Velocity)

భూమి గురుత్వాకర్షణ నుండి తప్పించుకోవడానికి కావలసిన కనీస వేగం:

v_e = √(2GM/R) = √(2gR) = 11.2 km/s

v_e = √2 × v_orbital (భూ కక్ష్య వేగం కంటే √2 రెట్లు)

ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడదు; ద్రవ్యరాశి మరియు వ్యాసార్థంపై ఆధారపడుతుంది

ఉపగ్రహ చలనం (Orbital Mechanics)

రాశి	సూత్రం	గమనిక
కక్ష్య వేగం	v₀ = √(GM/r) = √(gR²/r)	r = R+h (భూమి కేంద్రం నుండి)
ఆవర్తన కాలం	T = 2πr/v₀ = 2π√(r³/GM)	T² ∝ r³
మొత్తం శక్తి	E = -GMm/2r	ఋణాత్మకం (బంధన)
GEO ఉపగ్రహం	T = 24 గంటలు	r ≈ 42,000 km

సూత్ర వాల్ట్

న్యూటన్ గురుత్వ నియమం

F = Gm₁m₂/r²

G = 6.67×10⁻¹¹ SI

భూ తలంపై g

g = GM/R²

≈ 9.8 m/s²

ఎత్తు h వద్ద g

g_h = gR²/(R+h)²

h << R: g_h ≈ g(1-2h/R)

లోతు d వద్ద g

g_d = g(1-d/R)

భూమి కేంద్రంలో g=0

గురుత్వ స్థితి శక్తి

U = -GMm/r

ఋణాత్మకం (బంధన)

పారిపోయే వేగం

v_e = √(2gR) = 11.2 km/s

భూమి నుండి

కక్ష్య వేగం

v₀ = √(GM/r)

r = R+h

కక్ష్య ఆవర్తన కాలం

T = 2π√(r³/GM)

T² ∝ r³ (కేప్లర్ 3వ)

కక్ష్య మొత్తం E

E = -GMm/2r

KE = GMm/2r; PE = -GMm/r

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం భూమి వ్యాసార్థానికి సమాన ఎత్తువద్ద g విలువ ▾

భూమి వ్యాసార్థానికి సమాన ఎత్తు (h=R) వద్ద g' విలువ ఎంత?

g' = gR²/(R+h)² = gR²/(R+R)² = gR²/4R² = g/4

g' = 9.8/4 = 2.45 m/s²

✓ g' = g/4 = 2.45 m/s²

సులభం భూమి నుండి పారిపోయే వేగం 11.2 km/s అయితే మూన్ నుండి ఎంత? ▾

భూమి నుండి v_e = 11.2 km/s. చంద్రుని ద్రవ్యరాశి భూమిలో 1/81 వంతు, వ్యాసార్థం 1/4 వంతు అయితే చంద్రుని నుండి v_e = ?

v_e = √(2GM/R). v_e(moon)/v_e(earth) = √(M_m/M_e × R_e/R_m)

= √((1/81)×(4/1)) = √(4/81) = 2/9

v_e(moon) = 11.2 × 2/9 ≈ 2.49 km/s

✓ చంద్రుని నుండి v_e ≈ 2.49 km/s

మధ్యస్థం T = 90 min ఉపగ్రహం ఎత్తు కనుక్కోండి ▾

T = 90 min = 5400 s ఉపగ్రహం ఎత్తు కనుక్కోండి. (R=6400 km, g=9.8)

T = 2π√(r³/gR²) → r³ = g R² T²/(4π²)

r³ = 9.8×(6.4×10⁶)²×(5400)²/(4π²) ≈ (6.54×10⁶)³

r ≈ 6540 km. h = r-R = 6540-6400 = ~140 km

✓ ఎత్తు h ≈ 140 km (LEO ఉపగ్రహం)

EAPCET స్థాయి కేప్లర్ 3వ నియమం ఉపయోగించి కక్ష్య కాల నిష్పత్తి ▾

గ్రహం A యొక్క కక్ష్య వ్యాసార్థం గ్రహం B కంటే 4 రెట్లు. వాటి ఆవర్తన కాలాల నిష్పత్తి T_A:T_B = ?

కేప్లర్ 3వ: T² ∝ r³ → T_A²/T_B² = r_A³/r_B³

T_A/T_B = (r_A/r_B)^(3/2) = 4^(3/2) = (4)^1.5 = 8

✓ T_A : T_B = 8 : 1

ఉచ్చు ప్రశ్న భూమి కేంద్రంలో g ఎంత? ▾

భూమి కేంద్రంలో (d=R) గురుత్వ త్వరణం g విలువ ఎంత?

ఉచ్చు: "కేంద్రంలో అన్ని వైపుల నుండి శక్తి సమాన → g పెద్దది" అని అంటారు. తప్పు.

g_d = g(1 - d/R). d=R పెడితే g_d = g(1-1) = 0

భూమి కేంద్రంలో గురుత్వ శక్తులు అన్ని వైపుల నుండి రద్దు అవుతాయి → నికర g = 0

✓ భూమి కేంద్రంలో g = 0 (అన్ని దిశల శక్తులు రద్దు)

తప్పుల విశ్లేషణ

⬆️

ఎత్తు పెరిగినప్పుడు g పెరుగుతుందని అనుకోవడం

ఎత్తు పెరిగినప్పుడు g తగ్గుతుంది (భూ కేంద్రం నుండి దూరం పెరిగింది).

❌ తప్పు

ఎత్తు పెరిగితే
వాతావరణం తక్కువ
→ g పెరుగుతుంది ✗

✓ సరైనది

g_h = gR²/(R+h)²
h పెరిగితే g తగ్గుతుంది ✓
కేంద్రం నుండి దూరం వల్ల

💡 g = GM/r². r పెరిగితే (ఎత్తుకు వెళ్తే) g తగ్గుతుంది. ఇది ఖగోళ వస్తువుల కక్ష్య వేగం తగ్గడానికి కారణం.

🌙

పారిపోయే వేగం ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడుతుందని అనుకోవడం

v_e = √(2gR) — వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.

❌ తప్పు

భారీ రాకెట్ కు
ఎక్కువ v_e కావాలి ✗
(m ఎక్కువ → F ఎక్కువ)

✓ సరైనది

v_e = √(2GM/R) ✓
భూమి M,R మీద
వస్తువు m పై కాదు

💡 వస్తువు ద్రవ్యరాశి m KE మరియు PE రెండింటిలో రద్దు అవుతుంది → v_e భూమి ధర్మాలపై మాత్రమే.

🪐

కేప్లర్ 3వ నియమంలో T ∝ r అని అనుకోవడం

T² ∝ r³, కాబట్టి T ∝ r^(3/2). T ∝ r కాదు.

❌ తప్పు

r రెట్టింపు → T రెట్టింపు ✗
(T ∝ r అని)

✓ సరైనది

T ∝ r^(3/2) ✓
r రెట్టింపు → T = 2^(3/2)×T
= 2√2 రెట్లు

💡 T² = 4π²r³/GM → T ∝ r^(3/2). r 4 రెట్లు అయితే T = 4^(3/2) = 8 రెట్లు.

🔵

లోతుకు వెళ్ళినప్పుడు g పెరుగుతుందని అనుకోవడం

భూమి లోతుకు వెళ్ళినప్పుడు g తగ్గుతుంది — పెరగదు.

❌ తప్పు

లోతుకు వెళ్ళినప్పుడు
కేంద్రానికి దగ్గర
→ g పెరుగుతుంది ✗

✓ సరైనది

g_d = g(1-d/R) ✓
లోతుకు → g తగ్గుతుంది
కేంద్రంలో g = 0

💡 లోతుకు వెళ్ళినప్పుడు పైన ఉన్న పదార్థం బలం రద్దు చేస్తుంది → నికర g తగ్గుతుంది.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

g మార్పు (ఎత్తు/లోతు)

పారిపోయే వేగం

ఉపగ్రహ ఆవర్తన కాలం

కేప్లర్ 3వ నియమం

గురుత్వ స్థితి శక్తి

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

h=R వద్ద g విలువ (g/4) పారిపోయే వేగం నిష్పత్తి కేప్లర్: T నిష్పత్తి కనుక్కోవడం LEO ఉపగ్రహ ఆవర్తన కాలం g_h మరియు g_d పోలిక

పరీక్షా వ్యూహం

h=R వద్ద g = g/4. h=2R వద్ద g = g/9. "h పెరిగితే g = g×(R/(R+h))²" — ఈ నమూనా గుర్తుంచుకోండి.
v_e = √2 × v_orbital. భూమి నుండి v_e = 11.2 km/s; v_orbital(LEO) ≈ 7.9 km/s.
కేప్లర్ 3వ: T ∝ r^(3/2). r రెట్టింపు → T = 2^(3/2) = 2√2 రెట్లు. r నాలుగు రెట్లు → T = 8 రెట్లు.
లోతుకు వెళ్ళినప్పుడు: g_d = g(1-d/R). d=R వద్ద g=0. ఎత్తుకు వెళ్ళినప్పుడు కూడా g తగ్గుతుంది.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!