కార్య-శక్తి-సామర్థ్యం

భావన కోర్

కార్యం నుండి శక్తి సంరక్షణ వరకు — వేగ పద్ధతులు.

కార్యం — నిర్వచనం మరియు సూత్రం

బలం వర్తించినప్పుడు స్థానభ్రంశం జరిగితే కార్యం చేయబడుతుంది:

W = F·d·cosθ = F⃗·d⃗ (వేక్టర్ డాట్ గుణలబ్ధం)

θ = బలం మరియు స్థానభ్రంశం మధ్య కోణం. SI: జూల్ (J) = N·m

θ = 0°: W = Fd (గరిష్ఠం) | θ = 90°: W = 0 (అభిలంబ బలం కార్యం చేయదు) | θ = 180°: W = -Fd

గతిశక్తి (Kinetic Energy)

KE = ½mv² (వేగంతో కదులుతున్న వస్తువు యొక్క శక్తి)

KE = ½mv² = p²/2m

వేగం 2 రెట్లు → KE 4 రెట్లు అవుతుంది (v² వల్ల)

ద్రవ్యవేగం p = mv అయితే KE = p²/2m

స్థితి శక్తి (Potential Energy)

గురుత్వ స్థితి శక్తి: U = mgh (భూమి నుండి ఎత్తు h వద్ద)

స్ప్రింగ్ స్థితి శక్తి: U = ½kx² (స్ప్రింగ్ x సాగినప్పుడు)

స్ప్రింగ్ బలం: F = -kx (హుక్ నియమం)

సంరక్షణ బల (conservative force): గురుత్వం, స్ప్రింగ్ బలం

కార్య-శక్తి సిద్ధాంతం

వస్తువుపై నికర కార్యం = గతిశక్తి మార్పు

W_net = ΔKE = ½mv² - ½mu²

ఇది F=ma + కైనమాటిక్ సమీకరణాల కంటే వేగంగా అనేక సమస్యలు పరిష్కరిస్తుంది.

శక్తి సంరక్షణ నియమం

సంరక్షణ వ్యవస్థలో: KE + PE = స్థిరం

½mv₁² + mgh₁ = ½mv₂² + mgh₂

ఘర్షణ లేకుండా: ఎత్తు తగ్గిన మొత్తం = KE పెరిగిన మొత్తం

ఘర్షణ ఉంటే: ఉష్ణ శక్తిగా మారిన శక్తి = |μₖNd|

సంఘటనలు (Collisions)

సంఘటన రకం	ద్రవ్యవేగం	KE	ఉదాహరణ
పూర్తి స్థితిస్థాపక	సంరక్షితం	సంరక్షితం	బిలియర్డ్ బంతులు
పూర్తి అస్థితిస్థాపక	సంరక్షితం	తగ్గుతుంది	అతుక్కున్న వస్తువులు
సాధారణ	సంరక్షితం	పాక్షికంగా తగ్గుతుంది	చాలా వాస్తవ సందర్భాలు

పూర్తి స్థితిస్థాపక 1D: v₁' = (m₁-m₂)u₁/(m₁+m₂) v₂' = 2m₁u₁/(m₁+m₂)

పూర్తి అస్థితిస్థాపక (v_common): v = m₁u₁/(m₁+m₂) (u₂=0 అనుకుంటే)

సూత్ర వాల్ట్

కార్య-శక్తి-సామర్థ్యం అన్ని సూత్రాలు.

కార్యం

W = Fd cosθ

θ = బలం-స్థానభ్రంశం కోణం

గతిశక్తి

KE = ½mv²

= p²/2m (p = ద్రవ్యవేగం)

గురుత్వ స్థితి శక్తి

U = mgh

h = భూమి నుండి ఎత్తు

స్ప్రింగ్ స్థితి శక్తి

U = ½kx²

k = స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం

కార్య-శక్తి సిద్ధాంతం

W_net = ΔKE = ½mv²-½mu²

నికర కార్యం = KE మార్పు

శక్తి సంరక్షణం

KE₁+PE₁ = KE₂+PE₂

ఘర్షణ లేని వ్యవస్థకు

సామర్థ్యం

P = W/t = F·v

SI: వాట్ (W) = J/s

అస్థితిస్థాపక సంఘటన

v = m₁u₁/(m₁+m₂)

u₂=0 అనుకుంటే

KE నష్టం (అస్థితిస్థాపక)

ΔKE = ½μu_rel²

μ = తగ్గింపు ద్రవ్యరాశి

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

కార్య-శక్తి EAPCET నమూనా సమస్యలు.

సులభం 10 kg వస్తువు 3 m/s వేగంతో కదులుతుంటే దాని KE ఎంత? ▾

m = 10 kg, v = 3 m/s. KE = ?

KE = ½mv² = ½×10×3² = ½×10×9 = 45 J

✓ KE = 45 J

సులభం 5 m ఎత్తు నుండి పడే 2 kg వస్తువు నేలపై వేగం ▾

2 kg వస్తువు 5 m ఎత్తు నుండి పడుతోంది. నేలపై వేగం? (g=10)

శక్తి సంరక్షణ: mgh = ½mv² (ప్రారంభంలో KE = 0)

v² = 2gh = 2×10×5 = 100 → v = 10 m/s

✓ నేలపై వేగం v = 10 m/s

మధ్యస్థం 4 kg వస్తువు 2 kg పై పడి అతుక్కుంటే ఉమ్మడి వేగం ▾

m₁ = 4 kg (u₁=6 m/s) వస్తువు m₂ = 2 kg (u₂=0) పై పడి అతుక్కుంటే కదులుతాయి. ఉమ్మడి వేగం?

పూర్తి అస్థితిస్థాపక సంఘటన: ద్రవ్యవేగం సంరక్షణ

m₁u₁ + m₂u₂ = (m₁+m₂)v → 4×6 + 2×0 = 6v → v = 24/6 = 4 m/s

✓ ఉమ్మడి వేగం v = 4 m/s

EAPCET స్థాయి ఘర్షణతో వాలుపై నుండి జారిన వస్తువు అడుగున వేగం ▾

10 m వాలు ఎత్తు, μₖ = 0.3, θ = 30°. 2 kg వస్తువు అడుగున వేగం? (g=10)

వాలు పొడవు L = h/sinθ = 10/0.5 = 20 m

N = mg cosθ = 2×10×(√3/2) = 10√3 N

ఘర్షణ చేసిన కార్యం = -μₖNL = -0.3×10√3×20 = -60√3 J

శక్తి సంరక్షణ: mgh + W_friction = ½mv²
2×10×10 - 60√3 = ½×2×v²
200 - 103.9 ≈ v² → v ≈ 9.8 m/s

✓ అడుగున వేగం ≈ 9.8 m/s

ఉచ్చు ప్రశ్న అభిలంబ బలం (Normal force) కార్యం చేస్తుందా? ▾

క్షితిజ సమాంతర తలంపై కదులుతున్న వస్తువుపై అభిలంబ బలం N కార్యం చేస్తుందా?

W = Fd cosθ. N పైకి, చలనం క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంది.

N మరియు d మధ్య కోణం θ = 90°. cos 90° = 0

W_N = N × d × cos90° = 0

✓ అభిలంబ బలం కార్యం చేయదు — అది ఎల్లప్పుడూ చలనానికి లంబంగా ఉంటుంది.

తప్పుల విశ్లేషణ

కార్య-శక్తి ప్రశ్నలలో EAPCET పరీక్షార్థులు చేసే 4 తప్పులు.

📐

W = Fd అని cosθ మరచిపోవడం

కార్యం = Fd×cosθ. బలం మరియు స్థానభ్రంశం మధ్య కోణం ముఖ్యం.

❌ తప్పు

30° కోణంతో 10N బలం
5m: W = 10×5 = 50J ✗
(cosθ మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

W = 10×5×cos30°
= 50×(√3/2)
= 25√3 J ✓

💡 W = Fd cosθ. θ=0° (గరిష్ఠం), θ=90° (శూన్యం), θ=180° (ఋణాత్మకం).

⚡

KE = mv² అని ½ మరచిపోవడం

గతిశక్తి = ½mv², ½ మరచిపోవడం తప్పు జవాబుకు దారి తీస్తుంది.

❌ తప్పు

m=2kg, v=3:
KE = mv² = 2×9 = 18J ✗
(½ మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

KE = ½mv²
= ½×2×9 = 9J ✓

💡 KE = ½mv². "½" ని కైనమాటిక్ సమీకరణం s=½at² లో కూడా మరచిపోతారు — రెండింటినీ జాగ్రత్తగా చూడండి.

💥

అస్థితిస్థాపక సంఘటనలో KE సంరక్షితం అని అనుకోవడం

ద్రవ్యవేగం సంరక్షితం కానీ KE తగ్గుతుంది — రెండూ ఒకటే కాదు.

❌ తప్పు

అతుక్కున్న వస్తువులు:
KE సంరక్షితం ✗
(ఉష్ణంగా మారింది)

✓ సరైనది

ద్రవ్యవేగం సంరక్షితం ✓
KE తగ్గుతుంది ✓
వ్యత్యాసం = ఉష్ణ శక్తి

💡 అన్ని సంఘటనలలో ద్రవ్యవేగం సంరక్షితం. KE కేవలం పూర్తి స్థితిస్థాపక సంఘటనలో మాత్రమే సంరక్షితం.

🔁

వేగం 2 రెట్లు → KE 2 రెట్లు అని తప్పుగా అనుకోవడం

KE = ½mv². v రెట్టింపు → KE నాలుగు రెట్లు (v² వల్ల).

❌ తప్పు

v = 2→4, KE రెట్టింపు ✗
(v² సంబంధం
మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

v రెట్టింపు:
KE = ½m(2v)² = 4×½mv²
→ KE 4 రెట్లు ✓

💡 KE ∝ v². v రెట్టింపు → KE 4 రెట్లు. v సగం → KE 1/4 అవుతుంది.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

కార్య-శక్తి సిద్ధాంతం

శక్తి సంరక్షణం

సంఘటనలు (అస్థితిస్థాపక)

స్ప్రింగ్ శక్తి సమస్యలు

సామర్థ్యం సమస్యలు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

ఎత్తు నుండి పడే వస్తువు వేగం సంఘటన తర్వాత ఉమ్మడి వేగం స్ప్రింగ్ శక్తి = mgh KE నష్టం గణన వేగం రెట్టింపు → KE ఎంత మార్పు

పరీక్షా వ్యూహం

ఎత్తు/వేగం సమస్యలకు: శక్తి సంరక్షణ నేరుగా వాడండి — F=ma + కైనమాటిక్ సమీకరణాల కంటే వేగం.
సంఘటన సమస్యలలో: ముందు ద్రవ్యవేగం సంరక్షణ వాడండి. స్థితిస్థాపక అయితే KE సంరక్షణ కూడా వాడండి.
W = Fd cosθ లో θ = 90° అయితే కార్యం శూన్యం (అభిలంబ బలం, వృత్తీయ చలనంలో కేంద్రత్వ బలం).
KE ∝ v² — వేగం రెట్టింపు అంటే KE నాలుగు రెట్లు.

కార్య-శక్తి-సామర్థ్యం

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!