పరిభ్రమణ చలనం

భావన కోర్

టార్క్ నుండి కోణీయ ద్రవ్యవేగం వరకు — సరళ చలనానికి సమాంతరాలు.

పరిభ్రమణ — సరళ చలన సమాంతరాలు

    
      సరళ చలనంపరిభ్రమణ చలనం
స్థానభ్రంశం xకోణం θ
వేగం v = dx/dtకోణీయ వేగం ω = dθ/dt
త్వరణం a = dv/dtకోణీయ త్వరణం α = dω/dt
ద్రవ్యరాశి mజడత్వ భ్రామకం I
బలం F = maటార్క్ τ = Iα
ద్రవ్యవేగం p = mvకోణీయ ద్రవ్యవేగం L = Iω
KE = ½mv²KE = ½Iω²

  

సరళ చలనం	పరిభ్రమణ చలనం
స్థానభ్రంశం x	కోణం θ
వేగం v = dx/dt	కోణీయ వేగం ω = dθ/dt
త్వరణం a = dv/dt	కోణీయ త్వరణం α = dω/dt
ద్రవ్యరాశి m	జడత్వ భ్రామకం I
బలం F = ma	టార్క్ τ = Iα
ద్రవ్యవేగం p = mv	కోణీయ ద్రవ్యవేగం L = Iω
KE = ½mv²	KE = ½Iω²

జడత్వ భ్రామకం (Moment of Inertia)

I = Σmᵢrᵢ² (ప్రతి కణం × దూర వర్గం)

ముఖ్య జడత్వ భ్రామకాలు:

చదరపు కడ్డీ (అక్షం మధ్య): I = mL²/12

చదరపు కడ్డీ (అంత్యం): I = mL²/3

ఘన గోళం: I = 2mR²/5

గుండ్రని రిం/రింగ్: I = mR²

ఘన సిలిండర్/డిస్క్: I = mR²/2

సమాంతర అక్షం సిద్ధాంతం

ద్రవ్యమధ్యం గుండా అక్షానికి I_cm తెలిసినప్పుడ, d దూరంలో సమాంతర అక్షానికి:

I = I_cm + md²

ద్రవ్యమధ్యం గుండా అక్షం ఎల్లప్పుడూ తక్కువ I ఇస్తుంది.

టార్క్ (Torque)

టార్క్ = బలం × భుజం (lever arm)

τ = r × F = rF sinθ

SI: N·m. θ = బలం మరియు r మధ్య కోణం.

τ = Iα (పరిభ్రమణంలో న్యూటన్ 2వ నియమం)

కోణీయ ద్రవ్యవేగం సంరక్షణం

బాహ్య టార్క్ శూన్యమైతే: L = Iω = స్థిరం

I పెరిగితే → ω తగ్గుతుంది (స్కేటర్ చేతులు సాచినప్పుడు)

I తగ్గితే → ω పెరుగుతుంది (స్కేటర్ చేతులు ముడుచుకుంటే)

I₁ω₁ = I₂ω₂

రోలింగ్ చలనం (Rolling Motion)

ఘర్షణ లేకుండా జారనప్పుడు: v = Rω (సంబంధం)

రోలింగ్ మొత్తం KE = అనువర్తన KE + పరిభ్రమణ KE

KE_total = ½mv² + ½Iω² = ½mv²(1 + k²/R²)

ఇక్కడ I = mk², k = గైరేషన్ వ్యాసార్థం

వాలు తలంపై రోలింగ్ త్వరణం: a = g sinθ/(1 + k²/R²)

గోళం (k²/R²=2/5) > సిలిండర్ (k²/R²=1/2) > రింగ్ (k²/R²=1) — వేగంగా వచ్చే క్రమం

సూత్ర వాల్ట్

పరిభ్రమణ చలనం అన్ని సూత్రాలు.

టార్క్

τ = Iα = rF sinθ

పరిభ్రమణంలో F=ma సమాంతరం

కోణీయ ద్రవ్యవేగం

L = Iω

బాహ్య τ=0 → L స్థిరం

పరిభ్రమణ KE

KE = ½Iω²

½mv² సమాంతరం

సమాంతర అక్షం

I = I_cm + md²

d = అక్షాల మధ్య దూరం

రోలింగ్ KE

½mv² + ½Iω²

= ½mv²(1+k²/R²)

రింగ్/రిం

I = mR²

k²/R² = 1

సిలిండర్/డిస్క్

I = mR²/2

k²/R² = 1/2

గోళం (ఘన)

I = 2mR²/5

k²/R² = 2/5

కడ్డీ (మధ్య అక్షం)

I = mL²/12

అంత్యం వద్ద: mL²/3

రోలింగ్ వేగ సంబంధం

v = Rω

జారకుండా రోలింగ్ కు

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

పరిభ్రమణ చలనం EAPCET నమూనా సమస్యలు.

సులభం 2 kg, 0.5 m వ్యాసార్థం డిస్క్ యొక్క I కనుక్కోండి ▾

m = 2 kg, R = 0.5 m డిస్క్ (ఘన సిలిండర్) యొక్క జడత్వ భ్రామకం.

డిస్క్/ఘన సిలిండర్: I = mR²/2

I = 2×(0.5)²/2 = 2×0.25/2 = 0.25 kg·m²

✓ I = 0.25 kg·m²

సులభం 10 N·m టార్క్ తో 5 kg·m² జడత్వ భ్రామకం అయితే α ఎంత? ▾

τ = 10 N·m, I = 5 kg·m². కోణీయ త్వరణం α = ?

τ = Iα → α = τ/I = 10/5 = 2 rad/s²

✓ α = 2 rad/s²

మధ్యస్థం స్కేటర్ చేతులు ముడిస్తే ω ఎంత పెరుగుతుంది? ▾

స్కేటర్ I₁ = 4 kg·m², ω₁ = 2 rad/s తో తిరుగుతున్నాడు. చేతులు ముడిస్తే I₂ = 1 kg·m² అవుతుంది. ω₂ = ?

L సంరక్షణ: I₁ω₁ = I₂ω₂

4×2 = 1×ω₂ → ω₂ = 8 rad/s

I 4 రెట్లు తగ్గింది → ω 4 రెట్లు పెరిగింది: 8 rad/s

✓ ω₂ = 8 rad/s (4× పెరిగింది)

EAPCET స్థాయి వాలుపై దిగివచ్చే రింగ్ మరియు గోళం — ఏది ముందు వస్తుంది? ▾

ఒకే ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థం ఉన్న రింగ్ మరియు ఘన గోళం వాలు తలంపై వదిలారు. ఏది ముందు అడుగుకు చేరుతుంది?

రోలింగ్ t్వరణం: a = g sinθ/(1 + k²/R²)

రింగ్: k²/R² = 1 → a = g sinθ/(1+1) = g sinθ/2

గోళం: k²/R² = 2/5 → a = g sinθ/(1+2/5) = g sinθ/(7/5) = 5g sinθ/7

5g sinθ/7 > g sinθ/2 → గోళం వేగంగా వస్తుంది

✓ ఘన గోళం ముందు వస్తుంది (k²/R² తక్కువ → t్వరణం ఎక్కువ)

ఉచ్చు ప్రశ్న రోలింగ్ వస్తువు కింది బిందువు వేగం ఎంత? ▾

v వేగంతో రోలింగ్ చేస్తున్న గోళం యొక్క నేలకు తాకే బిందువు వేగం ఎంత?

ఉచ్చు: v అని అంటారు. కానీ రోలింగ్ లో కింది బిందువు అనువర్తన మరియు పరిభ్రమణ వేగాలు కలుపుతాయి.

కేంద్రం వేగం = v (ముందుకు). కింది బిందువు పరిభ్రమణ వేగం = Rω = v (వెనక్కి)

నికర వేగం = v - v = 0 (జారకుండా రోలింగ్ లో కింది బిందువు ఒక్క క్షణం స్థిరంగా ఉంటుంది)

✓ కింది బిందువు వేగం = 0. పై బిందువు వేగం = 2v.

తప్పుల విశ్లేషణ

పరిభ్రమణ చలనంలో EAPCET పరీక్షార్థులు చేసే 4 తప్పులు.

🔁

I సంరక్షితం అని అనుకోవడం

ద్రవ్యరాశి సంరక్షితం కానీ I = Σmr² కాబట్టి r మారినప్పుడు I మారుతుంది.

❌ తప్పు

చేతులు ముడిచినా
I మారదు → ω మారదు ✗
(I స్థిరం అని తప్పుగా)

✓ సరైనది

L = Iω స్థిరం ✓
I తగ్గితే ω పెరుగుతుంది
I పెరిగితే ω తగ్గుతుంది

💡 కోణీయ ద్రవ్యవేగం L సంరక్షితం, I కాదు. I మారితే ω మారాలి.

⭕

రింగ్ మరియు డిస్క్ I సూత్రాలు తప్పడం

రింగ్: I = mR². డిస్క్/ఘన సిలిండర్: I = mR²/2. ఇవి వేర్వేరు.

❌ తప్పు

డిస్క్: I = mR² ✗
(రింగ్ సూత్రం
వాడారు)

✓ సరైనది

రింగ్: I = mR² ✓
డిస్క్: I = mR²/2 ✓
గోళం: I = 2mR²/5 ✓

💡 రింగ్ అంతా అంచున ఉంటుంది → mR². డిస్క్ లో పదార్థం లోపల కూడా ఉంటుంది → mR²/2 (తక్కువ I).

📐

రోలింగ్ KE = ½mv² మాత్రమే అని అనుకోవడం

రోలింగ్ లో పరిభ్రమణ KE కూడా ఉంటుంది. మొత్తం = ½mv² + ½Iω².

❌ తప్పు

రోలింగ్ గోళం:
KE = ½mv² ✗
(పరిభ్రమణ KE
లేకుండా)

✓ సరైనది

KE = ½mv²+½Iω² ✓
= ½mv²(1+2/5)
= 7mv²/10 ✓

💡 రోలింగ్ = అనువర్తన KE + పరిభ్రమణ KE. రెండూ కలిపి శక్తి సంరక్షణ వాడండి.

🎯

టార్క్ = Fd అని sinθ మరచిపోవడం

τ = rF sinθ. బలం అక్షానికి లంబంగా (θ=90°) ఉంటే మాత్రమే τ = rF గరిష్ఠం.

❌ తప్పు

τ = rF ఎల్లప్పుడూ ✗
(కోణం మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

τ = rF sinθ ✓
θ=90°: τ = rF గరిష్ఠం
θ=0°: τ = 0 (అక్షం వెంట)

💡 టార్క్ గరిష్ఠం: బలం అక్షానికి లంబంగా (90°). అక్షం వెంట బలం → టార్క్ శూన్యం.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

జడత్వ భ్రామకం సూత్రాలు

కోణీయ ద్రవ్యవేగం సంరక్షణ

రోలింగ్ చలనం

టార్క్ అనువర్తనాలు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

వివిధ వస్తువుల I కనుక్కోవడం L సంరక్షణ — ω మార్పు వాలుపై గోళం vs రింగ్ రోలింగ్ KE మొత్తం τ = Iα అనువర్తనాలు

పరీక్షా వ్యూహం

I సూత్రాలు కంఠస్థం: రింగ్=mR², డిస్క్=mR²/2, గోళం=2mR²/5, కడ్డీ(మధ్య)=mL²/12. ఇవి ఎల్లప్పుడూ వస్తాయి.
L సంరక్షణ: I₁ω₁ = I₂ω₂. I తగ్గితే ω పెరుగుతుంది. స్కేటర్ ఉదాహరణ గుర్తుంచుకోండి.
వాలుపై రోలింగ్: k²/R² తక్కువ → వేగంగా వస్తుంది. గోళం (2/5) > సిలిండర్ (1/2) > రింగ్ (1).
రోలింగ్ KE = ½mv²(1+k²/R²). శక్తి సంరక్షణ: mgh = ½mv²(1+k²/R²).

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!