అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణులు

భావన కోర్

AP, GP, HP — సంక్షిప్త సూచిక

రకం	nవ పదం	S_n	ముఖ్య ధర్మం
AP	a+(n-1)d	n/2[2a+(n-1)d] = n/2(a+l)	AM = (a+b)/2
GP	arⁿ⁻¹	a(rⁿ-1)/(r-1), r≠1	GM = √(ab)
HP	1/(a+(n-1)d)	—	HM = 2ab/(a+b)

AM ≥ GM ≥ HM (సమానత: a=b అయినప్పుడు మాత్రమే)

GP అనంత శ్రేణి

|r| < 1 అయినప్పుడు అనంత GP మొత్తం:

S_∞ = a/(1-r)

ఉదా: 1+1/2+1/4+... = 1/(1-1/2) = 2

|r| ≥ 1 అయినప్పుడు మొత్తం అనంతం

ముఖ్య మొత్తాల సూత్రాలు

Σn = n(n+1)/2 Σn² = n(n+1)(2n+1)/6 Σn³ = [n(n+1)/2]²

ఈ మూడు సూత్రాలు EAPCET లో తరచుగా ఉపయోగపడతాయి

AP మరియు GP మధ్య సంబంధాలు

AP: a, a+d, a+2d,... — వ్యత్యాసం స్థిరం

GP: a, ar, ar²,... — నిష్పత్తి స్థిరం

AGP (అంకగణిత-జ్యామితీయ శ్రేణి): 1+2r+3r²+4r³+...

ఈ శ్రేణి మొత్తం: S = 1/(1-r)² (|r|<1)

ప్రత్యేక శ్రేణులు

Σ(2r-1) = n² (1 నుండి n వరకు బేసి సంఖ్యల మొత్తం)

Σ(2r) = n(n+1) (1 నుండి n వరకు సరి సంఖ్యల మొత్తం)

ముఖ్య: మొదటి n² సంఖ్యల మొత్తం ≠ (Σn)²

AP లో ముఖ్య ధర్మాలు

AP లో a+l = a₂+l₂ = ... (సమ స్థానాల పదాల మొత్తం సమానం)

AP మూడు పదాలు: a-d, a, a+d (మొత్తం = 3a)

GP మూడు పదాలు: a/r, a, ar (గుణలబ్ధం = a³)

సూత్ర వాల్ట్

AP nవ పదం

Tₙ = a+(n-1)d

a=మొదటి పదం, d=సమాంతరం

AP S_n

n/2[2a+(n-1)d]

= n/2(a+l), l=చివరి పదం

GP nవ పదం

Tₙ = arⁿ⁻¹

r = సాధారణ నిష్పత్తి

GP S_n

a(rⁿ-1)/(r-1)

r≠1

GP S_∞

a/(1-r), |r|<1

అనంత GP మొత్తం

AM, GM, HM

AM=(a+b)/2; GM=√ab; HM=2ab/(a+b)

AM≥GM≥HM

Σn

n(n+1)/2

మొదటి n సంఖ్యల మొత్తం

Σn²

n(n+1)(2n+1)/6

మొదటి n వర్గాల మొత్తం

Σn³

[n(n+1)/2]²

= (Σn)²

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం AP: a=3, d=4, n=10 అయిన T₁₀ మరియు S₁₀▾

a=3, d=4. T₁₀ మరియు S₁₀ కనుక్కోండి.

T₁₀ = 3+(10-1)×4 = 3+36 = 39

S₁₀ = 10/2×(3+39) = 5×42 = 210

✓ T₁₀ = 39, S₁₀ = 210

మధ్యస్థం GP: 2+4+8+...+256 మొత్తం▾

2+4+8+...+256 మొత్తం కనుక్కోండి.

a=2, r=2. arⁿ⁻¹=256 → 2·2ⁿ⁻¹=256 → 2ⁿ=256 → n=8

S₈ = 2(2⁸-1)/(2-1) = 2×255 = 510

✓ S = 510

EAPCET స్థాయి Σr² (r=1 నుండి 10) విలువ▾

1²+2²+3²+...+10² మొత్తం.

Σn² = n(n+1)(2n+1)/6; n=10

= 10×11×21/6 = 2310/6 = 385

✓ Σn² (n=1 to 10) = 385

ఉచ్చు ప్రశ్న 3, x, 12 GP అయితే x = ?▾

3, x, 12 GP (జ్యామితీయ అనుక్రమం) అయితే x = ?

GP లో x² = 3×12 = 36 → x = ±6

ఉచ్చు: x=6 మాత్రమే అంటారు. కానీ x=-6 కూడా సాధారణ నిష్పత్తి r=-2 తో GP ఇస్తుంది.

✓ x = ±6 (రెండు సమాధానాలు)

తప్పుల విశ్లేషణ

📐

AP S_n = n/2(a+d) అని రాయడం

❌ తప్పు

S_n = n/2(a+d) ✗

✓ సరైనది

S_n = n/2[2a+(n-1)d] ✓
= n/2(a+l) ✓

💡 S_n = n/2[2a+(n-1)d]. a+d = రెండవ పదం మాత్రమే, చివరిది కాదు.

🔢

Σn² = (Σn)² అని అనుకోవడం

❌ తప్పు

Σn² = (Σn)² = [n(n+1)/2]² ✗

✓ సరైనది

Σn² = n(n+1)(2n+1)/6 ✓
Σn³ = [n(n+1)/2]² ✓

💡 Σn³ = (Σn)² — ఇది ఆసక్తికరమైన ధర్మం. Σn² ≠ (Σn)².

∞

|r|>1 GP కు S_∞ = a/(1-r) వాడటం

❌ తప్పు

r=2 అయినా S_∞=a/(1-2) ✗
(వర్తించదు)

✓ సరైనది

|r|<1 మాత్రమే S_∞ = a/(1-r) ✓
|r|≥1: S_∞ అనంతం

💡 S_∞ కేవలం |r|<1 అయినప్పుడు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. |r|≥1: శ్రేణి diverge అవుతుంది.

🎯

GP నిష్పత్తి r ఋణాత్మకం కాదని అనుకోవడం

❌ తప్పు

3, x, 12 GP: x=6 మాత్రమే ✗

✓ సరైనది

x²=3×12=36 → x=±6 ✓
r=-2 తో: 3,-6,12 కూడా GP

💡 GP లో r ఋణాత్మకం కూడా అయి ఉండవచ్చు. b² = ac అనేది ముఖ్య షరతు.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET వెయిటేజ్

AP/GP S_n లెక్కలు

Σn, Σn², Σn³ సూత్రాలు

AM≥GM≥HM

PYQ నమూనాలు

T_n మరియు S_n లెక్కలుΣn, Σn² విలువలు AM, GM, HM నిర్ణయంఅనంత GP మొత్తం

పరీక్షా వ్యూహం

AP: Tₙ=a+(n-1)d, Sₙ=n/2[2a+(n-1)d]. GP: Tₙ=arⁿ⁻¹, Sₙ=a(rⁿ-1)/(r-1).
Σn=n(n+1)/2, Σn²=n(n+1)(2n+1)/6, Σn³=[n(n+1)/2]². ఇవి ముఖ్యంగా గుర్తుంచుకోండి.
AM≥GM≥HM ఎల్లప్పుడూ. AM×HM = GM² (ముఖ్య ధర్మం).

అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణులు

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!