అవకలన అనువర్తనాలు

భావన కోర్

గరిష్ఠ మరియు కనిష్ఠ విలువలు

1వ అవకలన పరీక్ష: f'(x) = 0 వద్ద x = c (స్థిర బిందువు)

f'(c⁻) > 0 మరియు f'(c⁺) < 0 → c వద్ద స్థానిక గరిష్ఠం

f'(c⁻) < 0 మరియు f'(c⁺) > 0 → c వద్ద స్థానిక కనిష్ఠం

2వ అవకలన పరీక్ష:

f''(c) < 0 → స్థానిక గరిష్ఠం f''(c) > 0 → స్థానిక కనిష్ఠం

పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల

f'(x) > 0 ఉన్న అంతరాలలో f(x) పెరుగుతుంది

f'(x) < 0 ఉన్న అంతరాలలో f(x) తగ్గుతుంది

f'(x) = 0 వద్ద ప్రవాహం ఆగుతుంది (stationary point)

రోల్ మరియు MVT సిద్ధాంతాలు

రోల్ సిద్ధాంతం: f [a,b] లో నిరంతర, (a,b) లో అవకలనీయ, f(a)=f(b) అయితే c∈(a,b) వద్ద f'(c)=0 ఉంటుంది

మీన్ విలువ సిద్ధాంతం (MVT):

f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a) కు c∈(a,b) ఉంటుంది

స్పర్శ రేఖ మరియు అభిలంబ

వక్రరేఖ y=f(x) పై (x₁,y₁) వద్ద:

స్పర్శ రేఖ: y-y₁ = f'(x₁)(x-x₁)

అభిలంబ: y-y₁ = -1/f'(x₁)·(x-x₁)

స్పర్శ రేఖ x-అక్షంతో కోణం: tanθ = f'(x₁)

మారు రేట్లు (Rate of Change)

వస్తువు స్థానం x(t) అయినప్పుడు:

వేగం = dx/dt = ẋ; త్వరణం = d²x/dt² = ẍ

వేగం ధనాత్మకం → ముందుకు చలనం

వేగం ఋణాత్మకం → వెనక్కు చలనం

EAPCET అనువర్తన సమస్యలు

గరిష్ఠ/కనిష్ఠ నిర్మాణ సమస్యలు:

1. నిర్బంధ సమీకరణం రాయండి

2. ఒక చర రాశిలో మాత్రమే f రాయండి

3. f'=0 చేసి, f'' పరీక్ష వాడి గరిష్ఠ/కనిష్ఠ నిర్ణయించండి

సూత్ర వాల్ట్

స్థిర బిందువు

f'(x) = 0

గరిష్ఠ/కనిష్ఠ అభ్యర్థి

2వ పరీక్ష

f''<0: గరిష్ఠం; f''>0: కనిష్ఠం

f'=0 వద్ద

MVT

f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

c ∈ (a,b)

స్పర్శ రేఖ

y-y₁ = f'(x₁)(x-x₁)

వాలు = f'(x₁)

అభిలంబ వాలు

m_normal = -1/f'(x₁)

స్పర్శ రేఖకు లంబం

పెరుగుదల

f'(x) > 0

ఆ అంతరంలో f పెరుగుతుంది

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం f(x)=x³-3x+2 యొక్క స్థానిక గరిష్ఠ/కనిష్ఠ విలువలు▾

f(x)=x³-3x+2 యొక్క గరిష్ఠ/కనిష్ఠ విలువలు.

f'(x) = 3x²-3 = 3(x²-1) = 0 → x = ±1

f''(x) = 6x. f''(-1) = -6 < 0 → x=-1 వద్ద గరిష్ఠం; f''(1)=6>0 → x=1 వద్ద కనిష్ఠం

f(-1)=4 (గరిష్ఠం); f(1)=0 (కనిష్ఠం)

✓ స్థానిక గరిష్ఠం: x=-1 వద్ద 4, కనిష్ఠం: x=1 వద్ద 0

మధ్యస్థం y=x²-4x+3 పై (1,-1) వద్ద స్పర్శ రేఖ సమీకరణం▾

y=x²-4x+3 పై (1,0) వద్ద స్పర్శ రేఖ.

dy/dx = 2x-4. x=1 వద్ద dy/dx = 2-4 = -2

స్పర్శ రేఖ: y-0 = -2(x-1) → y = -2x+2 → 2x+y-2=0

✓ స్పర్శ రేఖ: 2x+y-2=0

EAPCET స్థాయి నాలుగు వైపులు తెరిచిన పెట్టె: మొత్తం ఉపరితల విస్తీర్ణం కనిష్ఠంగా ఉండటానికి▾

6 చ.మీ. చదరపు అట్టతో మూత లేని పెట్టె చేయాలి. గరిష్ఠ ఘనపరిమాణం కోసం కత్తిరించాల్సిన మూల పొడవు.

మూల పొడవు x అనుకుంటే: ఘనపరిమాణం V = x(6-2x)²/4 లేదా చదరపు ఆకారానికి V = x(a-2x)²

a=6 అయితే V = x(6-2x)². dV/dx = (6-2x)²+x·2(6-2x)·(-2) = (6-2x)[(6-2x)-4x] = (6-2x)(6-6x)

dV/dx = 0 → x=1 లేదా x=3. x=3 అర్థం లేదు (పెట్టె ఉండదు). x=1 → V = 1×4² = 16

✓ x = 1 cm వద్ద గరిష్ఠ ఘనపరిమాణం = 16 cc

ఉచ్చు ప్రశ్న f''(c)=0 అంటే inflection point అని చెప్పవచ్చా?▾

f''(c)=0 అయినప్పుడు c వద్ద inflection point (వక్రత మార్పు) తప్పనిసరిగా ఉంటుందా?

ఉచ్చు: f''(c)=0 → inflection point అని నిర్ణయించడం తప్పు.

f(x)=x⁴ వద్ద f''(0)=0, కానీ x=0 వద్ద inflection point కాదు (కనిష్ఠం).

Inflection: f''(c)=0 మరియు f'' సంకేతం c చుట్టూ మారాలి.

✓ f''(c)=0 మాత్రమే సరిపోదు — f'' సంకేతం మారాలి inflection కు.

తప్పుల విశ్లేషణ

⬆️

f'(c)=0 → c వద్ద గరిష్ఠం లేదా కనిష్ఠం అని తీరా చెప్పడం

f'(c)=0 స్థిర బిందువు మాత్రమే — inflection point కూడా అయి ఉండవచ్చు.

❌ తప్పు

f'(0)=0 → 0 వద్ద గరిష్ఠం
లేదా కనిష్ఠం ✗

✓ సరైనది

f'(0)=0 → స్థిర బిందువు ✓
f'' పరీక్ష తో గరిష్ఠ/
కనిష్ఠ నిర్ణయించాలి

💡 f'(c)=0 → అభ్యర్థి బిందువు. f''(c)<0 → గరిష్ఠం. f''(c)>0 → కనిష్ఠం. f''(c)=0 → 1వ పరీక్ష వాడాలి.

📈

పెరుగుదల: f(x) > 0 అని f(x) పెరుగుతుందని అనుకోవడం

f(x) > 0 అంటే f(x) ధనాత్మకం — పెరుగుదలకు f'(x) > 0 అవసరం.

❌ తప్పు

f(x)=x²>0 ∀x→
f పెరుగుతుంది ✗
(x<0 లో తగ్గుతుంది)

✓ సరైనది

f'(x)=2x>0 → x>0 లో పెరుగుదల
f'(x)<0 → x<0 లో తగ్గుదల ✓

💡 పెరుగుదల/తగ్గుదల: f'(x)>0 లేదా <0 చూడాలి. f(x)>0 లేదా <0 కాదు.

📐

అభిలంబ వాలు = f'(x₁) అని రాయడం

అభిలంబ వాలు = -1/f'(x₁). స్పర్శ రేఖ వాలుకు విలోమ ఋణం.

❌ తప్పు

అభిలంబ వాలు = f'(x₁) ✗
(స్పర్శ రేఖ వాలు)

✓ సరైనది

అభిలంబ వాలు = -1/f'(x₁) ✓
స్పర్శ × అభిలంబ = -1

💡 స్పర్శ రేఖ మరియు అభిలంబ లంబంగా ఉంటాయి: వాలుల గుణలబ్ధం = -1.

🎯

MVT లో f'(c) = f(b)-f(a) అని రాయడం

f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a). (b-a) తో భాగించాలి.

❌ తప్పు

f'(c) = f(b)-f(a) ✗
((b-a) మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a) ✓
సగటు మార్పు రేటు

💡 MVT: f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a). ఇది సగటు వేగానికి సమానమైన తక్షణ వేగం ఉంటుంది అని అర్థం.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET వెయిటేజ్

గరిష్ఠ/కనిష్ఠ విలువలు

స్పర్శ రేఖ/అభిలంబ

పెరుగుదల/తగ్గుదల

MVT/రోల్

PYQ నమూనాలు

f'=0 తో స్థిర బిందువులుf'' పరీక్ష వక్రరేఖ స్పర్శ రేఖనిర్మాణ గరిష్ఠ సమస్య

పరీక్షా వ్యూహం

స్థిర బిందువులు: f'(x)=0 చేయండి. f''<0: గరిష్ఠం, f''>0: కనిష్ఠం.
అభిలంబ వాలు = -1/f'(x₁). స్పర్శ రేఖ వాలు f'(x₁).
అనువర్తన సమస్యలలో: ఒక చర రాశిలో మాత్రమే f రాసి, f'=0 పరిష్కరించండి.
పెరుగుదల: f'(x)>0 అంతరాలు కనుక్కోండి. f(x)>0 పెరుగుదల కాదు.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!