అవకల సమీకరణాలు

భావన కోర్

DE రకాలు మరియు పరిష్కార పద్ధతులు


రకంరూపంపద్ధతి
వేరుచేయదగినdy/dx = f(x)g(y)g(y)dy = f(x)dx, సమాకలనం
సోజాతీయdy/dx = f(y/x)y = vx పెట్టండి
రేఖీయ (1వ క్రమం)dy/dx+Py = QIF = e^(∫Pdx)

రకం	రూపం	పద్ధతి
వేరుచేయదగిన	dy/dx = f(x)g(y)	g(y)dy = f(x)dx, సమాకలనం
సోజాతీయ	dy/dx = f(y/x)	y = vx పెట్టండి
రేఖీయ (1వ క్రమం)	dy/dx+Py = Q	IF = e^(∫Pdx)

క్రమం మరియు పరిమాణం

క్రమం (Order): DE లో అత్యధిక అవకలన క్రమం. ఉదా: d²y/dx²+3y=0 → క్రమం 2

పరిమాణం (Degree): అత్యధిక అవకలన పదం యొక్క ఘాతాంకం (వ్యక్తమైన రూపంలో)

ఉదా: (dy/dx)³+2y=0 → పరిమాణం 3

వేరుచేయదగిన DE

dy/dx = f(x)g(y) → ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx + C

ఉదా: dy/dx = y/x → ∫dy/y = ∫dx/x → ln y = ln x + ln C → y = Cx

రేఖీయ DE పరిష్కారం

dy/dx + P(x)y = Q(x) రూపానికి:

Integrating Factor (IF) = e^(∫P dx) పరిష్కారం: y·IF = ∫(Q·IF)dx + C

ముఖ్య DE అనువర్తనాలు

వేడి శీతలీకరణ (Newton's Law): dT/dt = -k(T-T₀)

జనాభా వృద్ధి: dP/dt = kP → P = P₀e^(kt)

రేడియోధార్మిక క్షయం: dN/dt = -λN → N = N₀e^(-λt)

సూత్ర వాల్ట్

వేరుచేయదగిన

∫dy/g(y) = ∫f(x)dx

రెండు వైపులా వేర్వేరుగా

రేఖీయ IF

IF = e^(∫P dx)

P(x) = y యొక్క గుణకం

రేఖీయ పరిష్కారం

y·IF = ∫(Q·IF)dx+C

IF గుణించి సమాకలనం

సోజాతీయ DE

y = vx పెట్టి పరిష్కరించు

dy/dx = v+x(dv/dx)

ఘాతాంక వృద్ధి/క్షయం

y = y₀e^(±kt)

dy/dt = ±ky కు

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం dy/dx = x² + 1 పరిష్కరించండి▾

dy/dx = x²+1. సాధారణ పరిష్కారం కనుక్కోండి.

వేరుచేయదగిన: dy = (x²+1)dx

∫dy = ∫(x²+1)dx → y = x³/3+x+C

✓ y = x³/3 + x + C

మధ్యస్థం dy/dx + y = eˣ పరిష్కరించండి▾

dy/dx + y = eˣ. y(0)=1.

P=1, Q=eˣ. IF = e^(∫1dx) = eˣ

y·eˣ = ∫eˣ·eˣdx = ∫e²ˣdx = e²ˣ/2+C

y = eˣ/2+Ce⁻ˣ. y(0)=1: 1=1/2+C → C=1/2

✓ y = (eˣ+e⁻ˣ)/2

EAPCET స్థాయి d²y/dx²+dy/dx క్రమం మరియు పరిమాణం▾

(d²y/dx²)³ + 5(dy/dx)² + y = 0 క్రమం మరియు పరిమాణం.

అత్యధిక అవకలన: d²y/dx² → క్రమం = 2

d²y/dx² ఘాతాంకం = 3 → పరిమాణం = 3

✓ క్రమం = 2, పరిమాణం = 3

ఉచ్చు ప్రశ్న dy/dx = √y యొక్క పరిమాణం 1 అని చెప్పవచ్చా?▾

dy/dx = √y. క్రమం మరియు పరిమాణం?

క్రమం = 1 (dy/dx మాత్రమే). √y = y^(1/2).

ఉచ్చు: √y వల్ల పరిమాణం 1/2 అని అనుకోవద్దు. dy/dx పదం పరిమాణాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

dy/dx ఘాతాంకం = 1 → పరిమాణం = 1

✓ క్రమం = 1, పరిమాణం = 1

తప్పుల విశ్లేషణ

📋

క్రమం vs పరిమాణం గందరగోళం

❌ తప్పు

(dy/dx)² + y = 0:
క్రమం = 2 ✗
(పరిమాణం = 2)

✓ సరైనది

క్రమం = 1 ✓ (dy/dx)
పరిమాణం = 2 ✓ (²)

💡 క్రమం = అత్యధిక అవకలన సంకేతం. పరిమాణం = ఆ అత్యధిక అవకల పదం యొక్క ఘాతాంకం.

⚡

IF ని y తో నేరుగా గుణించకుండా ఒక వైపు మాత్రమే

❌ తప్పు

IF = eˣ అయినప్పుడు
IF ని Q కు మాత్రమే ✗

✓ సరైనది

IF × (dy/dx+Py) = IF×Q
d(y·IF)/dx = IF·Q ✓

💡 రేఖీయ DE: IF తో గుణిస్తే ఎడమ వైపు d(y·IF)/dx అవుతుంది. తర్వాత సమాకలనం.

🔢

C (అనిర్ణీత స్థిరాంకం) మరచిపోవడం

❌ తప్పు

y = x³/3+x ✗
(C మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

y = x³/3+x+C ✓
సాధారణ పరిష్కారంలో C

💡 సాధారణ పరిష్కారంలో ఎల్లప్పుడూ C ఉంటుంది. విశిష్ట పరిష్కారంలో ప్రారంభ షరతు ఉపయోగించి C కనుక్కోండి.

🌱

ఘాతాంక వృద్ధి: y = kt అని రాయడం

❌ తప్పు

dy/dt = ky → y = kt ✗

✓ సరైనది

dy/dt = ky → y = Ce^(kt) ✓
ఘాతాంక పరిష్కారం

💡 dy/dt = ky → y = y₀e^(kt) (వృద్ధి) లేదా y₀e^(-kt) (క్షయం).

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET వెయిటేజ్

క్రమం & పరిమాణం

వేరుచేయదగిన DE

రేఖీయ DE (IF)

PYQ నమూనాలు

క్రమం & పరిమాణంవేరుచేయదగిన పరిష్కారం IF = e^(∫Pdx)ఘాతాంక వృద్ధి/క్షయం

పరీక్షా వ్యూహం

క్రమం = అత్యధిక అవకలన క్రమం. పరిమాణం = ఆ పదం యొక్క ఘాతాంకం.
వేరుచేయదగిన: y పదాలు ఒక వైపు, x పదాలు మరొక వైపు, సమాకలనం చేయండి.
రేఖీయ: dy/dx+Py=Q. IF=e^(∫Pdx). పరిష్కారం: y·IF = ∫(Q·IF)dx+C.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!