అవకలన గణితం

భావన కోర్

ముఖ్య అవకలన సూత్రాలు


f(x)f'(x)f(x)f'(x)
xⁿnxⁿ⁻¹sin xcos x
eˣeˣcos x-sin x
aˣaˣ ln atan xsec²x
ln x1/xcot x-cosec²x
log_a x1/(x ln a)sec xsec x tan x
√x1/(2√x)cosec x-cosec x cot x

f(x)	f'(x)	f(x)	f'(x)
xⁿ	nxⁿ⁻¹	sin x	cos x
eˣ	eˣ	cos x	-sin x
aˣ	aˣ ln a	tan x	sec²x
ln x	1/x	cot x	-cosec²x
log_a x	1/(x ln a)	sec x	sec x tan x
√x	1/(2√x)	cosec x	-cosec x cot x

అవకల నియమాలు

కూడిక/వ్యవకలనం: (f±g)' = f'±g'

గుణలబ్ధ నియమం: (fg)' = f'g + fg'

భాగహార నియమం: (f/g)' = (f'g - fg')/g²

శృంఖల నియమం: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

విలోమ త్రికోణమిత్య అవకలనాలు

d/dx[sin⁻¹x] = 1/√(1-x²) d/dx[cos⁻¹x] = -1/√(1-x²) d/dx[tan⁻¹x] = 1/(1+x²)

నిరాకరణ అవకలనం (Implicit)

f(x,y) = 0 రూపంలో ఇస్తే y ని x తో నేరుగా వ్యక్తం చేయలేముపోయినప్పుడు:

రెండు వైపులా x తో అవకలనం చేయండి, dy/dx ని కనుక్కోండి

ఉదా: x²+y²=r² → 2x+2y(dy/dx)=0 → dy/dx = -x/y

పారమేట్రిక్ అవకలనం

x=f(t), y=g(t) అయినప్పుడు:

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

d²y/dx² = (d/dt)(dy/dx)/(dx/dt)

ఉన్నత క్రమ అవకలనాలు

Leibniz సిద్ధాంతం: (uv)ⁿ = Σ nCr · u^(r) · v^(n-r)

ఉదా: d²/dx²(x²sin x) ని లైబ్‌నిజ్ తో చేయడం

L'Hôpital నియమం: 0/0 లేదా ∞/∞ రూపానికి: lim f/g = lim f'/g'

సూత్ర వాల్ట్

xⁿ అవకలనం

d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹

అత్యంత వాడే సూత్రం

eˣ, aˣ

eˣ→eˣ; aˣ→aˣlna

eˣ అవకలనం మారదు

ln x

d/dx(ln x) = 1/x

x>0 కు

గుణలబ్ధ నియమం

(uv)' = u'v + uv'

రెండు ఫంక్షన్ల గుణలబ్ధం

శృంఖల నియమం

d/dx[f(g(x))] = f'(g)·g'

సమ్మేళన ఫంక్షన్

sin⁻¹x అవకలనం

1/√(1-x²)

|x|<1

tan⁻¹x అవకలనం

1/(1+x²)

అన్ని x కు

L'Hôpital

lim(f/g) = lim(f'/g')

0/0, ∞/∞ రూపానికి

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం y = x³+2x²-5x+1 యొక్క dy/dx▾

y = x³+2x²-5x+1. dy/dx = ?

dy/dx = 3x²+4x-5

✓ dy/dx = 3x²+4x-5

మధ్యస్థం y = sin(x²) యొక్క dy/dx▾

y = sin(x²). dy/dx = ?

శృంఖల నియమం: d/dx[sin(g)] = cos(g)·g'

dy/dx = cos(x²)·2x = 2x cos(x²)

✓ dy/dx = 2x cos(x²)

EAPCET స్థాయి x²+y²+2xy = 1 అయిన dy/dx నిరాకరణ అవకలనంతో▾

x²+y²+2xy=1 అయిన dy/dx కనుక్కోండి.

రెండు వైపులా x తో అవకలనం: 2x+2y(dy/dx)+2(y+x·dy/dx)=0

2x+2y(dy/dx)+2y+2x(dy/dx) = 0

(2y+2x)(dy/dx) = -2x-2y → dy/dx = -(x+y)/(x+y) = -1

✓ dy/dx = -1

EAPCET స్థాయి lim(x→0) (sin x)/x విలువ▾

lim(x→0) sin x/x = ?

0/0 రూపం. L'Hôpital: lim cos x/1 = cos 0 = 1

లేదా ప్రామాణిక ఫలితం: lim(x→0) sin x/x = 1

✓ lim(x→0) sin x/x = 1

ఉచ్చు ప్రశ్న d/dx(eˢⁱⁿˣ) = ?▾

d/dx(eˢⁱⁿˣ) = ?

ఉచ్చు: eˢⁱⁿˣ·x అని తప్పు సమాధానం చెప్తారు

శృంఖల నియమం: d/dx[eᵘ] = eᵘ·du/dx; u=sinx → du/dx=cosx

d/dx(eˢⁱⁿˣ) = eˢⁱⁿˣ·cos x

✓ d/dx(eˢⁱⁿˣ) = eˢⁱⁿˣ cos x

తప్పుల విశ్లేషణ

⛓️

శృంఖల నియమం మరచిపోవడం

d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x). లోపల g'(x) గుణించాలి.

❌ తప్పు

d/dx(sin(x²)) = cos(x²) ✗
(x² అవకలనం
మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

= cos(x²)·2x ✓
లోపల ఫంక్షన్
అవకలనం తప్పనిసరి

💡 సమ్మేళన ఫంక్షన్ ఉంటే ఎల్లప్పుడూ శృంఖల నియమం వాడాలి. d/dx[sin(x³)] = cos(x³)·3x².

✖️

గుణలబ్ధ నియమం: (fg)' = f'g' అని రాయడం

(fg)' = f'g + fg'. కూడిక మరచిపోరాదు.

❌ తప్పు

(x·sinx)' = cosx ✗
(1·cosx అని)

✓ సరైనది

(x·sinx)' = sinx+x cosx ✓
f'g + fg'

💡 గుణలబ్ధ నియమం = PRODUCT RULE: "first×derivative of second + second×derivative of first".

🔢

స్థిరాంక అవకలనం: d/dx(5) = 5 అని రాయడం

స్థిరాంకాల అవకలనం = 0.

❌ తప్పు

d/dx(7) = 7 ✗

✓ సరైనది

d/dx(7) = 0 ✓
స్థిరాంకం మారదు

💡 d/dx(c) = 0. d/dx(5x) = 5·1 = 5. స్థిరాంకం x తో లేకుంటే అవకలనం 0.

📋

L'Hôpital ను 0/0 కానప్పుడు వాడటం

L'Hôpital కేవలం 0/0 లేదా ∞/∞ రూపానికి మాత్రమే.

❌ తప్పు

lim(x→2) (x+1)/(x-3):
L'Hôpital వాడారు ✗
(3/(-1) = నిర్ధారణం)

✓ సరైనది

నేరుగా పెట్టండి:
= (2+1)/(2-3) = -3 ✓
L'Hôpital అవసరం లేదు

💡 ముందు నేరుగా పెట్టి చూడండి. 0/0 లేదా ∞/∞ వస్తేనే L'Hôpital వాడండి.

🌿

ln x అవకలనం: 1 అని రాయడం

d/dx(ln x) = 1/x (కాదు 1).

❌ తప్పు

d/dx(ln x) = 1 ✗
(eˣ అవకలనంతో
గందరగోళం)

✓ సరైనది

d/dx(ln x) = 1/x ✓
d/dx(eˣ) = eˣ ✓

💡 ln x → 1/x. eˣ → eˣ. రెండు వేర్వేరు!

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET వెయిటేజ్

శృంఖల నియమం అనువర్తనాలు

~10

గుణలబ్ధ/భాగహార నియమాలు

నిరాకరణ అవకలనం

L'Hôpital/సీమలు

PYQ నమూనాలు

శృంఖల నియమం అనువర్తనంనిరాకరణ dy/dx విలోమ t్రికో అవకలనంపరమావధి సూత్రాలు

పరీక్షా వ్యూహం

ముఖ్య అవకలన సూత్రాలు కంఠస్థం: xⁿ, eˣ, ln x, sin x, cos x — ఇవి ప్రతి ప్రశ్నలో వాడుతారు.
శృంఖల నియమం: లోపల ఫంక్షన్ ఉంటే దాని అవకలనం కూడా గుణించాలి. ఎల్లప్పుడూ.
నిరాకరణ: x తో అవకలనం చేసి dy/dx తో జమా చేసి మళ్ళీ కనుక్కోండి.
L'Hôpital: 0/0, ∞/∞ రూపానికి మాత్రమే. ముందు నేరుగా పెట్టి చూడండి.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!