ద్విపద సిద్ధాంతం

భావన కోర్

ద్విపద విస్తరణ నుండి మధ్య పదం వరకు — పరీక్ష వేగం కోసం.

ద్విపద సిద్ధాంతం — ప్రామాణిక సూత్రం

(a+b)ⁿ = Σ nCr · a^(n-r) · b^r, r = 0 to n

(a+b)ⁿ = nC₀aⁿ + nC₁a^(n-1)b + nC₂a^(n-2)b² + ... + nCₙbⁿ

మొత్తం పదాల సంఖ్య: n+1 పదాలు

ద్విపద గుణకాలు: nC₀, nC₁, ..., nCₙ — పాస్కల్ త్రిభుజంలో ఉంటాయి

సాధారణ పదం (General Term)

(r+1)వ పదం (T_{r+1}):

T_{r+1} = nCr · a^(n-r) · b^r

r = 0, 1, 2, ..., n వరకు మారుతుంది

నిర్దిష్ట పదం కనుక్కోవడానికి r ని పరిష్కరించండి

మధ్య పదం (Middle Term)

n సంఖ్య సరి అయితే: ఒక మధ్య పదం = T_{(n/2)+1}

n సంఖ్య బేసి అయితే: రెండు మధ్య పదాలు = T_{(n+1)/2} మరియు T_{(n+3)/2}

ఉదా: (a+b)⁸ లో n=8 (సరి) → T₅ మధ్య పదం

ఉదా: (a+b)⁷ లో n=7 (బేసి) → T₄ మరియు T₅ మధ్య పదాలు

ద్విపద గుణకాల ముఖ్య మొత్తాలు

అన్ని గుణకాల మొత్తం: nC₀+nC₁+...+nCₙ = 2ⁿ

(a=b=1 ని (a+b)ⁿ లో పెట్టినప్పుడు)

ఘన మరియు జంట మొత్తాలు:

nC₀+nC₂+nC₄+... = nC₁+nC₃+nC₅+... = 2^(n-1)

(a=1, b=-1 ని పెట్టినప్పుడు)

నిరాకరణ విస్తరణలు

(1+x)ⁿ:

T_{r+1} = nCr · xʳ

(1-x)ⁿ:

T_{r+1} = nCr · (-x)ʳ = (-1)ʳ · nCr · xʳ

రుణ చిహ్నం ఉన్నప్పుడు (-1)ʳ గుర్తుంచుకోండి

స్వతంత్ర పదం మరియు నిర్దిష్ట ఘాతాంకం

T_{r+1} = nCr · a^(n-r) · b^r లో x ఘాతాంకం సున్న అయితే x పై స్వతంత్ర పదం వస్తుంది.

(x² + 1/x)ⁿ లో x-స్వతంత్ర పదం: x^(2(n-r)) × x^(-r) = x^(2n-3r). x స్వతంత్ర పదానికి 2n-3r=0 → r=2n/3.

నిర్దిష్ట xᵐ పదం: ఘాతాంకాలు కలిపి m కు సమానం చేయండి → r కనుక్కోండి → T_{r+1} లెక్కించండి.

సూత్ర వాల్ట్

ద్విపద విస్తరణ

(a+b)ⁿ = Σ nCr·a^(n-r)·bʳ

n+1 పదాలు మొత్తం

సాధారణ పదం

T_{r+1} = nCr·a^(n-r)·bʳ

r = 0 నుండి n వరకు

మధ్య పదం (n సరి)

T_{n/2+1}

ఒక మధ్య పదం మాత్రమే

మధ్య పదాలు (n బేసి)

T_{(n+1)/2}, T_{(n+3)/2}

రెండు మధ్య పదాలు

గుణకాల మొత్తం

ΣnCr = 2ⁿ

a=b=1 పెట్టినప్పుడు

జంట గుణకాల మొత్తం

nC₀+nC₂+... = 2^(n-1)

ఘన గుణకాలు = 2^(n-1)

అతి పెద్ద గుణకం

nC_{n/2} (n సరి)

మధ్య గుణకం గరిష్ఠం

(1+x)ⁿ T_{r+1}

nCr · xʳ

a=1 అయినప్పుడు

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం (x+2)⁵ విస్తరణలో 3వ పదం కనుక్కోండి ▾

(x+2)⁵ లో T₃ కనుక్కోండి.

T_{r+1} = nCr·a^(n-r)·bʳ. T₃ కు r = 2

T₃ = ⁵C₂ · x^(5-2) · 2² = 10 · x³ · 4 = 40x³

✓ T₃ = 40x³

సులభం (a+b)¹⁰ విస్తరణలో మధ్య పదం కనుక్కోండి ▾

(a+b)¹⁰ లో మధ్య పదం కనుక్కోండి.

n=10 సరి → మధ్య పదం T_{n/2+1} = T₆

T₆ = ¹⁰C₅ · a⁵ · b⁵ = 252a⁵b⁵

✓ మధ్య పదం = 252a⁵b⁵

మధ్యస్థం (x+1/x)⁸ లో x-స్వతంత్ర పదం కనుక్కోండి ▾

(x + 1/x)⁸ విస్తరణలో x పై స్వతంత్ర పదం కనుక్కోండి.

T_{r+1} = ⁸Cr · x^(8-r) · (1/x)^r = ⁸Cr · x^(8-r-r) = ⁸Cr · x^(8-2r)

x పై స్వతంత్రం అంటే 8-2r = 0 → r = 4

T₅ = ⁸C₄ · x⁰ = 70

✓ x-స్వతంత్ర పదం = 70 (T₅)

EAPCET స్థాయి (1+x)ⁿ విస్తరణలో nC₁/nC₀ + 2·nC₂/nC₁ + ... = n(n+1)/2 నిరూపించండి ▾

(1+x)ⁿ లో nC₁/nC₀ + 2·nC₂/nC₁ + 3·nC₃/nC₂ + ... = n(n+1)/2 నిరూపించండి.

nCr/nC(r-1) = (n-r+1)/r అని గుర్తుంచుకోండి

r·nCr/nC(r-1) = r·(n-r+1)/r = n-r+1

మొత్తం = Σ(n-r+1) for r=1 to n = n + (n-1) + ... + 1 = n(n+1)/2

✓ నిరూపితమైంది: మొత్తం = n(n+1)/2

ఉచ్చు ప్రశ్న (1-2x)¹⁰ లో x³ గుణకం కనుక్కోండి ▾

(1-2x)¹⁰ విస్తరణలో x³ గుణకం కనుక్కోండి.

ఉచ్చు: (-2x) ని (+2x) అని తీసుకుని సంకేతం మరచిపోవడం

T_{r+1} = ¹⁰Cr·1^(10-r)·(-2x)^r = ¹⁰Cr·(-2)^r·x^r

x³ కోసం r=3: T₄ = ¹⁰C₃·(-2)³·x³ = 120·(-8)·x³ = -960x³

✓ x³ గుణకం = -960 (ఋణాత్మకం — సంకేతం ముఖ్యం)

తప్పుల విశ్లేషణ

🔢

పదం సంఖ్య మరియు r మధ్య గందరగోళం

T₃ అంటే r=2 (r+1=3). కానీ చాలా మంది r=3 పెడతారు.

❌ తప్పు

T₃ లెక్కించేటప్పుడు
r=3 పెట్టారు ✗
(T₄ వచ్చింది)

✓ సరైనది

T₃ = T_{r+1}, r+1=3
∴ r=2 ✓
T_{r+1} = nCr·...|_{r=2}

💡 T_{r+1} అంటే r+1 = పదం సంఖ్య. T₃ → r = 2. T₁ → r = 0 (మొదటి పదం).

➖

(a-b)ⁿ లో (-b)^r ని (+b)^r గా వాడటం

b ఋణాత్మకం అయినప్పుడు (-1)^r భాగం మరచిపోవడం తప్పు సంకేతం ఇస్తుంది.

❌ తప్పు

(x-2)⁵ T₃:
⁵C₂·x³·2² = 40x³ ✗
((-2)² = 4 సరైనది
కానీ అన్ని r కు)

✓ సరైనది

T_{r+1} = ⁵Cr·x^(5-r)·(-2)^r
T₄ (r=3): (-2)³=-8
⁵C₃·x²·(-8) = -80x² ✓

💡 (a-b)ⁿ లో T_{r+1} = nCr·a^(n-r)·(-b)^r. r బేసి అయితే ఋణాత్మకం, r సరి అయితే ధనాత్మకం.

🎯

మధ్య పదం సంఖ్య తప్పు

n సరి → ఒక మధ్య పదం T_{n/2+1}. n బేసి → రెండు మధ్య పదాలు.

❌ తప్పు

(a+b)⁹ లో
T₅ మాత్రమే మధ్య పదం ✗
(n=9 బేసి → రెండు)

✓ సరైనది

n=9 బేసి →
T₅ మరియు T₆ ✓
(రెండు మధ్య పదాలు)

💡 n+1 పదాలు ఉంటాయి. n సరి → n+1 బేసి → ఒక మధ్యం. n బేసి → n+1 సరి → రెండు మధ్యాలు.

⚡

గుణకాల మొత్తం x=1 వద్ద లెక్కించకపోవడం

ద్విపద గుణకాల మొత్తం పొందడానికి x=1 పెట్టాలి — x=0 లేదా x=-1 వేరే ఫలితాలు ఇస్తాయి.

❌ తప్పు

గుణకాల మొత్తానికి
x=0 పెట్టారు → 1 ✗
(మొదటి పదం మాత్రమే)

✓ సరైనది

x=1 పెట్టాలి → 2ⁿ ✓
x=-1 → జంట-ఘన మార్పు
x=0 → 1 (మొదటి పదం మాత్రమే)

💡 ΣnCr = 2ⁿ కోసం x=1 పెట్టండి. జంట=ఘన వేరు చేయడానికి x=1 మరియు x=-1 రెండు సమీకరణాలు వాడండి.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

సాధారణ పదం T_{r+1}

నిర్దిష్ట పదం / x-స్వతంత్ర పదం

మధ్య పదం

గుణకాల మొత్తాలు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

నిర్దిష్ట పదం (T_r) విలువ x-స్వతంత్ర పదం మధ్య పదం (n సరి/బేసి) ΣnCr = 2ⁿ అనువర్తనాలు nCr/nC(r-1) సంబంధం

పరీక్షా వ్యూహం

T_{r+1} = nCr·a^(n-r)·b^r. T₃ కు r=2 (r+1=3). ఇది అత్యంత సాధారణ తప్పు — జాగ్రత్తగా చూడండి.
x-స్వతంత్ర పదం: x ఘాతాంకాన్ని సున్న చేసే r కనుక్కోండి. తర్వాత T_{r+1} లెక్కించండి.
(1-x)ⁿ లో T_{r+1} = (-1)^r·nCr·x^r. ఋణ సంకేతం r తో మారుతుంది — జాగ్రత్తగా చూడండి.
మొత్తాల కోసం: x=1 పెడితే 2ⁿ, x=-1 పెడితే 0 (జంట=ఘన మొత్తాలు సమానం నిరూపిస్తుంది).

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!