క్రమ మార్పులు మరియు కలయికలు

భావన కోర్

nPr మరియు nCr నుండి ఆవర్తన ఏర్పాట్ల వరకు — పరీక్ష వేగం కోసం.

క్రమ మార్పులు మరియు కలయికలు — వ్యత్యాసం

క్రమ మార్పు (Permutation): క్రమం ముఖ్యమైనప్పుడు. ABC ≠ BAC

nPr = n! / (n-r)!

కలయిక (Combination): క్రమం ముఖ్యం కానప్పుడు. ABC = BAC (ఒకే సమూహం)

nCr = n! / (r! × (n-r)!) = nPr / r!

గుర్తింపు సూత్రం: nCr = nC(n-r). ఉదా: ¹⁰C₇ = ¹⁰C₃ = 120

ఘాతాంకం (Factorial)

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

ప్రత్యేక విలువలు: 0! = 1 (నిర్వచనం), 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720

n! = n × (n-1)! — దీన్ని చిన్న ఘాతాంకాలకు తగ్గించడానికి ఉపయోగించండి

సారూప్య అక్షరాలు ఉన్న ఏర్పాట్లు

n వస్తువులలో p రకాలు p₁ సార్లు, p₂ సార్లు... పునరావృతమైతే:

ఏర్పాట్ల సంఖ్య = n! / (p₁! × p₂! × p₃! × ...)

ఉదా: MISSISSIPPI (11 అక్షరాలు: M=1, I=4, S=4, P=2): 11!/(1!4!4!2!)

ఆవర్తన ఏర్పాట్లు (Circular Permutations)

n వస్తువులు వృత్తంలో ఏర్పరచడం: (n-1)! మార్గాలలో

హారం, కంకణాలకు (నేల-వెనుక వేర్వేరు కాకపోతే): (n-1)!/2

సరళ రేఖలో n వస్తువులు: n! మార్గాలు (మొదట అక్షరం ముఖ్యం)

ముఖ్య nCr సూత్రాలు

nC₀ = nCₙ = 1

nC₁ = n

nCr + nC(r-1) = (n+1)Cr (పాస్కల్ సూత్రం)

∑nCr (r=0 to n) = 2ⁿ (సబ్‌సెట్ల మొత్తం సంఖ్య)

nCr = nC(n-r) — ఈ సూత్రం లెక్కలు సులభం చేస్తుంది

విభజన సూత్రం (Division Principle) మరియు సమూహ ఏర్పాట్లు

n వస్తువులను p మరియు q వస్తువుల సమూహాలుగా విభజించడం:

వేర్వేరు సమూహాలైతే: nCp × (n-p)Cq విధాలు

సమాన సమూహాలైతే: nCp × (n-p)Cp / 2! విధాలు (2 సమాన సమూహాలు)

కనీసం, గరిష్ఠం నిర్బంధాలతో:

కనీసం 1 ఎంచుకోవడం: nCr లో r=1 to n వరకు మొత్తం = 2ⁿ-1

సూత్ర వాల్ట్

P&C యొక్క అన్ని సూత్రాలు — వేగ సూచిక.

క్రమ మార్పు

nPr = n!/(n-r)!

క్రమం ముఖ్యమైనప్పుడు

కలయిక

nCr = n!/(r!(n-r)!)

క్రమం ముఖ్యం కానప్పుడు

nCr గుర్తింపు

nCr = nC(n-r)

¹⁰C₇ = ¹⁰C₃ (లెక్క సులభం)

పాస్కల్ సూత్రం

nCr + nC(r-1) = (n+1)Cr

పాస్కల్ త్రిభుజంలో ఉపయోగం

సారూప్య అక్షరాలు

n!/(p₁!p₂!...)

పునరావృత అక్షరాలతో పదాలు

ఆవర్తన ఏర్పాట్లు

(n-1)!

n మంది వృత్తంలో కూర్చోవడం

హారం/కంకణం

(n-1)!/2

తిరగేయడం సమానమైతే

అన్ని సబ్‌సెట్లు

2ⁿ

శూన్య సెట్‌తో సహా

nCr మరియు nPr సంబంధం

nPr = r! × nCr

క్రమం = కలయిక × r!

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

P&C EAPCET నమూనా సమస్యలు.

సులభం 10 మందిలో నుండి 3 మందిని ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? ▾

10 మందిలో నుండి 3 మందిని ఎంచుకోవటానికి ఎన్ని విధాలు ఉంటాయి?

క్రమం ముఖ్యం కాదు (కమిటీ) → కలయిక: ¹⁰C₃

¹⁰C₃ = 10!/(3!×7!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 720/6 = 120

✓ ¹⁰C₃ = 120 విధాలు

సులభం INDIA అనే పదంలో అక్షరాలు ఎన్ని విధాలుగా ఏర్పరచవచ్చు? ▾

INDIA అనే పదంలో 5 అక్షరాలు ఎన్ని విధాలుగా ఏర్పరచవచ్చు?

INDIA లో: I=2, N=1, D=1, A=1 (I రెండుసార్లు వస్తుంది)

ఏర్పాట్ల సంఖ్య = 5!/2! = 120/2 = 60

✓ 60 విధాలు

మధ్యస్థం 6 మంది వ్యక్తులు వృత్తంలో కూర్చోవడానికి ఎన్ని విధాలు? ▾

6 మంది వ్యక్తులు గుండ్రని బల్లను చుట్టూ ఎన్ని విధాలుగా కూర్చోవచ్చు?

ఆవర్తన ఏర్పాటు: (n-1)! = (6-1)! = 5!

5! = 5×4×3×2×1 = 120

✓ 120 విధాలు

EAPCET స్థాయి MATHEMATICS లో అక్షరాల ఏర్పాట్లు — అన్ని అచ్చులు కలిసి ఉండేలా ▾

MATHEMATICS (11 అక్షరాలు) లో అన్ని అచ్చులు (A,E,A,I) కలిసి ఉండేలా ఏర్పాట్లు ఎన్ని?

అచ్చులు: A,A,E,I (4). వీటిని ఒక సమూహంగా చూసి (M,T,H,M,T,C,S + [AAEI]) = 8 అంశాలు

8 అంశాల ఏర్పాటు (M=2, T=2): 8!/(2!×2!) = 10080

అచ్చుల సమూహం లోపల ఏర్పాటు (A=2, E=1, I=1): 4!/2! = 12

మొత్తం = 10080 × 12 = 120960

✓ 120960 విధాలు

ఉచ్చు ప్రశ్న ఒక డిజిట్ పునరావృతం కాకుండా 4 అంకె సంఖ్యలు ఎన్ని (0-9)? ▾

0-9 అంకెలతో, పునరావృతం లేకుండా, 4 అంకె సంఖ్యలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు?

ఉచ్చు: ⁱ⁰P₄ = 5040 అని సరాసరి చెప్పడం తప్పు — మొదటి అంకె 0 అయికూడదు

మొదటి స్థానం (వేల స్థానం): 1-9 నుండి = 9 అంకెలు

రెండవ స్థానం: 9 (0 తో సహా, మొదటి మినహా). మూడవ: 8. నాల్గవ: 7

మొత్తం = 9 × 9 × 8 × 7 = 4536

✓ 4536 4-అంకె సంఖ్యలు (0 మొదట రాకూడదు అనే నిర్బంధం వల్ల)

తప్పుల విశ్లేషణ

P&C లో EAPCET పరీక్షార్థులు చేసే 5 తప్పులు.

🔀

పరిస్థితి అనుసరించి P vs C ఎంపిక తప్పు

"క్రమం ముఖ్యమా?" అని అడగకుండా తెలివిగా నిర్ణయించలేకపోవడం.

❌ తప్పు

అధ్యక్షుడు, కార్యదర్శి
ఎంపికకు nCr వాడారు ✗
(పదవులు వేర్వేరు →
క్రమం ముఖ్యం)

✓ సరైనది

పదవుల ఎంపిక → nPr ✓
కమిటీ ఎంపిక → nCr ✓
వ్యత్యాసం: క్రమం ముఖ్యమా

💡 పదవులు/స్థానాలు ఉంటే → nPr. కమిటీ/సమూహం అయితే → nCr. "ఎవరు ముందు?" అని అడగండి.

0️⃣

0! = 0 అని అనుకోవడం

0! నిర్వచనం ప్రకారం 1 అవుతుంది — 0 కాదు.

❌ తప్పు

nC₀ = n!/(0!×n!)
= n!/(0×n!) = ∞ ✗
(0! = 0 అని తప్పు)

✓ సరైనది

0! = 1 (నిర్వచనం) ✓
nC₀ = n!/(1×n!) = 1 ✓
శూన్య వస్తువులు ఎంపిక = 1 విధం

💡 0! = 1 అని నిర్వచించబడింది. ఇది గణిత సమ్మేళనతను కాపాడటానికి అవసరం.

🔄

nCr = nC(n-r) గుర్తింపు వాడకపోవడం

¹⁰C₇ ని నేరుగా లెక్కించడానికి ప్రయత్నిస్తారు — ¹⁰C₃ గా తగ్గించవచ్చు.

❌ తప్పు

¹⁰C₇ = 10!/(7!×3!)
7! = 5040 లెక్కిస్తారు ✗
(నెమ్మది, తప్పు అవకాశం)

✓ సరైనది

¹⁰C₇ = ¹⁰C₃ ✓
= (10×9×8)/(3×2×1)
= 120 (వేగంగా)

💡 nCr లెక్కించేటప్పుడు ఎల్లప్పుడూ r మరియు n-r లో తక్కువది తీసుకోండి. ¹⁰C₇ → ¹⁰C₃ సులభం.

⭕

ఆవర్తన ఏర్పాట్లలో n! వాడటం

వృత్తంలో ఒక స్థానం స్థిరంగా ఉంచుతాం కాబట్టి (n-1)! మాత్రమే.

❌ తప్పు

6 మంది వృత్తంలో:
6! = 720 ✗
(అన్నీ వ్యత్యాసం అని
తప్పుగా అనుకున్నారు)

✓ సరైనది

(6-1)! = 5! = 120 ✓
ఒక స్థానం స్థిరం →
మిగతా (n-1) మాత్రమే
మారతాయి

💡 వృత్తంలో ఒక వ్యక్తిని స్థిరంగా ఉంచి, మిగతా (n-1) మందిని ఏర్పరచండి → (n-1)! మార్గాలు.

🔢

మొదటి స్థానం 0 అయికూడదనే నిర్బంధం మరచిపోవడం

అంకెల సంఖ్యలలో మొదటి అంకె 0 అయితే 4 అంకె సంఖ్య కాదు — 3 అంకె సంఖ్య అవుతుంది.

❌ తప్పు

0-9 నుండి 4 అంకె సంఖ్యలు:
¹⁰P₄ = 5040 ✗
(0234 లాంటివి ఉంటాయి)

✓ సరైనది

మొదటి స్థానం: 9 (1-9)
× 9 × 8 × 7 = 4536 ✓
నిర్బంధం గుర్తుంచుకోండి

💡 అంకె సంఖ్యల సమస్యలలో మొదటి అంకె 0 అయికూడదు. 0 తప్ప తక్కిన అంకెలు మొదటి స్థానంలో వస్తాయి.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

nCr కలయిక సమస్యలు

పదాలు ఏర్పాట్లు (అక్షరాలతో)

అంకె సంఖ్యల ఏర్పాట్లు

ఆవర్తన ఏర్పాట్లు

నిర్బంధాలతో ఏర్పాట్లు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

కమిటీ ఎంపిక — nCr పదాల ఏర్పాట్లు (పునరావృత అక్షరాలు) వృత్తంలో ఏర్పాట్లు 0 తో మొదలుకాని అంకె సంఖ్యలు nCr సమీకరణాలు (r కనుక్కోవడం)

పరీక్షా వ్యూహం

ముందు అడగండి: "క్రమం ముఖ్యమా?" అవుననే nPr, కాదంటే nCr. పదవులు/ర్యాంకులు → P, సమూహాలు/కమిటీలు → C.
nCr లెక్కలో ఎల్లప్పుడూ r మరియు n-r లో తక్కువది తీసుకోండి. ¹⁰C₇ → ¹⁰C₃ = 120.
సారూప్య అక్షరాలు ఉంటే: n!/(p₁!p₂!...). ముందు అక్షరాలు వేరు చేయండి.
అంకె సంఖ్యలలో 0 మొదటి స్థానంలో రాకూడదు — వేరే స్థానాల లెక్క వేరుగా చేయండి.

క్రమ మార్పులు మరియు కలయికలు

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!