మాత్రికలు మరియు నిర్ణాయకాలు

భావన కోర్

మాత్రిక రకాలు నుండి క్రేమర్ నియమం వరకు — పరీక్ష వేగం కోసం నిర్మించబడింది.

మాత్రిక రకాలు — వేగ సూచిక

    
      రకంనిర్వచనంఉదాహరణ
వరుస మాత్రిక1×n[1 2 3]
స్తంభ మాత్రికn×1ఒకే స్తంభం
చతురస్ర మాత్రికn×n2×2, 3×3
కర్ణ మాత్రికకర్ణేతర మూలకాలు = 0diag(a,b,c)
ఐడెంటిటీ (I)కర్ణం=1, తక్కినవి=0AI = IA = A
సమానతర మాత్రికA = Aᵀaᵢⱼ = aⱼᵢ
విషమ సమానతరA = -Aᵀకర్ణం = 0

  

రకం	నిర్వచనం	ఉదాహరణ
వరుస మాత్రిక	1×n	[1 2 3]
స్తంభ మాత్రిక	n×1	ఒకే స్తంభం
చతురస్ర మాత్రిక	n×n	2×2, 3×3
కర్ణ మాత్రిక	కర్ణేతర మూలకాలు = 0	diag(a,b,c)
ఐడెంటిటీ (I)	కర్ణం=1, తక్కినవి=0	AI = IA = A
సమానతర మాత్రిక	A = Aᵀ	aᵢⱼ = aⱼᵢ
విషమ సమానతర	A = -Aᵀ	కర్ణం = 0

మాత్రికా చర్యలు

కూడిక: ఒకే క్రమం మాత్రమే. మూలకాల వారీగా. వినిమయ నియమం వర్తిస్తుంది.

గుణకారం: (m×n)(n×p) = (m×p). వినిమయ నియమం వర్తించదు: AB ≠ BA సాధారణంగా.

స్థానభ్రంశ: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ

జాడ (Trace): tr(A) = కర్ణ మూలకాల మొత్తం = అయిగన్ విలువల మొత్తం

2×2 మరియు 3×3 నిర్ణాయకం

2×2: |A| = ad - bc

|A| = ad - bc, A = [[a,b],[c,d]]

3×3 (1వ వరుస వెంట కారక విస్తరణ):

|A| = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃

Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ (Mᵢⱼ = అల్ప నిర్ణాయకం)

నిర్ణాయక ధర్మాలు

1. |Aᵀ| = |A| — స్థానభ్రంశం నిర్ణాయకం మార్చదు

2. రెండు వరుసలు/స్తంభాలు మార్చుకుంటే నిర్ణాయకం సంకేతం మారుతుంది

3. వరుసలో అన్నీ శూన్యాలు → |A| = 0

4. రెండు సమాన వరుసలు/స్తంభాలు → |A| = 0

5. |kA| = kⁿ|A| (n×n మాత్రికకు)

6. |AB| = |A|·|B|

విలోమ మాత్రిక (Inverse)

A⁻¹ అస్తిత్వం కేవలం |A| ≠ 0 అయినప్పుడు మాత్రమే.

A⁻¹ = adj(A) / |A|

adj(A) = కారక మాత్రిక యొక్క స్థానభ్రంశ

AA⁻¹ = I | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ | (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹

2×2 వేగ సూత్రం: A=[[a,b],[c,d]] అయితే A⁻¹ = (1/|A|)[[d,-b],[-c,a]]

క్రేమర్ నియమం

AX = B కు పరిష్కారం: xᵢ = Dᵢ/D

D = |A|, Dᵢ = |A లో i-వ స్తంభాన్ని B తో మార్చినది|

సమతుల్యత:

D ≠ 0: అనన్య పరిష్కారం

D = 0, అన్ని Dᵢ = 0: అనంత పరిష్కారాలు

D = 0, ఏదైనా Dᵢ ≠ 0: పరిష్కారం లేదు

అయిగన్ విలువలు — ముఖ్య సూత్రాలు

అయిగన్ విలువలు λ ఇలా నిర్ణయిస్తారు: det(A - λI) = 0 (లక్షణ సమీకరణం)

2×2 మాత్రికకు: λ² - (tr A)λ + |A| = 0

λ₁ + λ₂ = tr(A) λ₁λ₂ = |A|

కేలీ-హ్యామిల్టన్ సిద్ధాంతం: ప్రతి మాత్రిక తన సొంత లక్షణ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. A యొక్క శక్తులు కనుక్కోవడానికి ఉపయోగించండి.

సూత్ర వాల్ట్

మాత్రికలు మరియు నిర్ణాయకాల అన్ని సూత్రాలు.

2×2 నిర్ణాయకం

|A| = ad - bc

A = [[a,b],[c,d]]

2×2 విలోమం

A⁻¹ = (1/|A|)[[d,-b],[-c,a]]

కర్ణం మార్చు, అంగాలు నెగటివ్

అనుబంధ మాత్రిక

adj(A) = (కారక మాత్రిక)ᵀ

A·adj(A) = |A|·I

విలోమ సూత్రం

A⁻¹ = adj(A)/|A|

|A| ≠ 0 అయినప్పుడు మాత్రమే

గుణకారం నిర్ణాయకం

|AB| = |A|·|B|

|Aⁿ| = |A|ⁿ

స్కేలార్ గుణకారం

|kA| = kⁿ|A|

n = మాత్రిక క్రమం

adj నిర్ణాయకం

|adj A| = |A|^(n-1)

EAPCET తరచు వచ్చే సూత్రం

క్రేమర్ నియమం

x = D₁/D, y = D₂/D

D = |గుణకాంక మాత్రిక|

అయిగన్ విలువల మొత్తం

Σλ = tr(A)

కర్ణ మూలకాల మొత్తం

అయిగన్ విలువల గుణలబ్ధం

Πλ = |A|

నిర్ణాయకానికి సమానం

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

EAPCET స్పెక్ట్రం అంతటా 5 సమస్యలు.

సులభం A = [[3,1],[-2,4]] యొక్క నిర్ణాయకం కనుక్కోండి ▾

A = [[3,1],[-2,4]] కు |A| కనుక్కోండి.

|A| = ad - bc = (3)(4) - (1)(-2) = 12 + 2 = 14

✓ |A| = 14

సులభం A = [[2,1],[5,3]] కు A⁻¹ కనుక్కోండి ▾

A = [[2,1],[5,3]] కు విలోమ మాత్రిక కనుక్కోండి.

|A| = 6 - 5 = 1

A⁻¹ = (1/1)[[3,-1],[-5,2]] = [[3,-1],[-5,2]]

✓ A⁻¹ = [[3,-1],[-5,2]]

మధ్యస్థం క్రేమర్ నియమంతో 2x+y=5, 3x-y=0 పరిష్కరించండి ▾

2x + y = 5 మరియు 3x - y = 0 ను క్రేమర్ నియమంతో పరిష్కరించండి.

D = |[[2,1],[3,-1]]| = -2-3 = -5

D₁ = |[[5,1],[0,-1]]| = -5-0 = -5

D₂ = |[[2,5],[3,0]]| = 0-15 = -15

x = D₁/D = -5/-5 = 1; y = D₂/D = -15/-5 = 3

✓ x = 1, y = 3

3×3 మాత్రిక A కు |A| = 5. (i) |3A| మరియు (ii) |adj A| కనుక్కోండి.

|3A|: |kA| = kⁿ|A| (n=3). |3A| = 3³×5 = 27×5 = 135

|adj A|: |adj A| = |A|^(n-1) = 5^(3-1) = 5² = 25

✓ |3A| = 135, |adj A| = 25

ఉచ్చు ప్రశ్న D=0 అయితే పరిష్కారం లేదు అని చెప్పవచ్చా? ▾

x+2y=3, 3x+6y=9 సమీకరణ వ్యవస్థకు D=0. పరిష్కారం ఉందా?

D = |[[1,2],[3,6]]| = 6-6 = 0

D₁ = |[[3,2],[9,6]]| = 18-18 = 0; D₂ = |[[1,3],[3,9]]| = 9-9 = 0

D=0 మరియు అన్ని Dᵢ=0 → అనంత పరిష్కారాలు (రెండు సమీకరణాలు ఒకే రేఖ)

✓ D=0 అని పరిష్కారం లేదు అని కాదు — అన్ని Dᵢ కూడా చూడాలి. ఇక్కడ అనంత పరిష్కారాలు.

తప్పుల విశ్లేషణ

EAPCET మాత్రికా ప్రశ్నలలో 5 ముఖ్యమైన తప్పులు.

✖️

మాత్రికా గుణకారం వినిమయ అని అనుకోవడం

AB = BA సాధారణంగా సత్యం కాదు. ఇది సరళీకరణ సమస్యలలో తప్పులకు దారి తీస్తుంది.

❌ తప్పు

AB = BA అని అనుకుని
(AB)ᵀ = AᵀBᵀ ✗
(తప్పు సరళీకరణ)

✓ సరైనది

(AB)ᵀ = BᵀAᵀ ✓
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ✓
గుణకారానికి క్రమం మారుతుంది

💡 గుణకారం మాత్రికలలో: స్థానభ్రంశ లేదా విలోమం తీసినప్పుడు క్రమం వ్యతిరేకమవుతుంది.

🔢

|kA| = k|A| అని రాయడం (kⁿ|A| కాదు)

n×n మాత్రికకు |kA| = kⁿ|A|. ప్రతి వరుసకు k రావడం వల్ల n మార్లు వస్తుంది.

❌ తప్పు

3×3, |A|=4:
|2A| = 2×4 = 8 ✗
(kⁿ మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

|2A| = 2³×4 = 32 ✓
ప్రతి వరుసకు 2 వస్తుంది
→ 2×2×2 = 8 మార్లు

💡 n×n మాత్రికలో n వరుసలు ఉంటాయి, ప్రతి వరుసకు k వస్తుంది → kⁿ.|A|.

🔑

|A|=0 వద్ద A⁻¹ లెక్కించడం

సింగ్యులర్ మాత్రిక (|A|=0) కు విలోమం లేదు.

❌ తప్పు

|A|=0 వద్ద కూడా
A⁻¹ = adj(A)/0 ✗
(శూన్యంతో భాగహారం)

✓ సరైనది

|A|=0 → A సింగ్యులర్
→ A⁻¹ అస్తిత్వం లేదు ✓
ముందు |A| చెక్ చేయండి

💡 విలోమం కనుక్కోవడానికి ముందు |A| ≠ 0 అని నిర్ధారించుకోండి.

📊

3×3 నిర్ణాయకంలో కారక సంకేత లోపం

(-1)^(i+j) చెకర్‌బోర్డ్ నమూనా మరచిపోవడం తప్పు కారకాలకు దారి తీస్తుంది.

❌ తప్పు

అన్ని కారకాలు ధనాత్మకం ✗
C₁₂ = +M₁₂ (తప్పు)

✓ సరైనది

చెకర్‌బోర్డ్: + - +
- + -
+ - + ✓

💡 C₁₂ = (-1)^(1+2)×M₁₂ = -M₁₂. మూలలో ఉన్నవి +, అంచులలో -.

➗

D=0 → "పరిష్కారం లేదు" అని నేరుగా నిర్ణయించడం

D=0 అయినప్పుడు అనంత పరిష్కారాలు లేదా పరిష్కారం లేదు — Dᵢ తో నిర్ణయించాలి.

❌ తప్పు

D=0 → వెంటనే
"పరిష్కారం లేదు" ✗
(తీరని తీర్మానం)

✓ సరైనది

D=0 + అన్ని Dᵢ=0
→ అనంత పరిష్కారాలు ✓
D=0 + ఏదైనా Dᵢ≠0
→ పరిష్కారం లేదు ✓

💡 D=0 అని ముగింపు కాదు — D₁, D₂ కూడా చెక్ చేయాలి. ఇది EAPCET తరచు పరీక్షించే అవగాహన.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

విలోమ మాత్రిక

3×3 నిర్ణాయకం

క్రేమర్ నియమం

|kA|, |adj A| ధర్మాలు

అయిగన్ విలువలు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

adj/det ద్వారా A⁻¹ |adj A| మరియు |kA| 2×2 వ్యవస్థను క్రేమర్‌తో పరిష్కరించడం సమతుల్యత పరిష్కారం (D=0 విశ్లేషణ) సమానతర/విషమ సమానతర మాత్రికలు

పరీక్షా వ్యూహం

2×2 విలోమం: swap-negate సూత్రం నేరుగా వాడండి — adj ద్వారా కారకాలు లెక్కించకండి. 4× వేగం.
ఏ సమీకరణ వ్యవస్థ అయినా: ముందు D లెక్కించండి. D ≠ 0 → అనన్య పరిష్కారం, క్రేమర్ వాడండి. D=0 → Dᵢ చూడండి.
|kA| మరియు |adj A| ప్రశ్నలు: రెండు సూత్రాలు కంఠస్థం చేయండి. 30 సెకన్ల MCQ లు.
3×3 నిర్ణాయకం: శూన్యాలు అధికంగా ఉన్న వరుస/స్తంభం వెంట విస్తరించండి.

మాత్రికలు మరియు నిర్ణాయకాలు

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!