నిరూపక జ్యామితి — సరళ రేఖలు మరియు వృత్తాలు

భావన కోర్

సరళ రేఖ — అన్ని రూపాలు


రూపంసమీకరణంఎప్పుడు వాడాలి
వాలు-అంతరంy = mx + cm (వాలు) మరియు c (y-అంతరం) తెలిసినప్పుడు
బిందువు-వాలుy-y₁ = m(x-x₁)ఒక బిందువు + వాలు తెలిసినప్పుడు
రెండు బిందువులు(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)రెండు బిందువులు తెలిసినప్పుడు
అంతరం-అంతరంx/a + y/b = 1అంతరాలు (a,b) తెలిసినప్పుడు
సాధారణax + by + c = 0m = -a/b; c = -c/b

రూపం	సమీకరణం	ఎప్పుడు వాడాలి
వాలు-అంతరం	y = mx + c	m (వాలు) మరియు c (y-అంతరం) తెలిసినప్పుడు
బిందువు-వాలు	y-y₁ = m(x-x₁)	ఒక బిందువు + వాలు తెలిసినప్పుడు
రెండు బిందువులు	(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)	రెండు బిందువులు తెలిసినప్పుడు
అంతరం-అంతరం	x/a + y/b = 1	అంతరాలు (a,b) తెలిసినప్పుడు
సాధారణ	ax + by + c = 0	m = -a/b; c = -c/b

రెండు రేఖల మధ్య కోణం

వాలులు m₁ మరియు m₂ అయిన రేఖల మధ్య కోణం θ:

tanθ = |(m₁-m₂)/(1+m₁m₂)|

సమాంతర రేఖలు: m₁ = m₂

లంబ రేఖలు: m₁×m₂ = -1

బిందువు నుండి రేఖకు దూరం

d = |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²)

రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం (ax+by+c₁=0 మరియు ax+by+c₂=0):

d = |c₁-c₂| / √(a²+b²)

వృత్తం — ప్రామాణిక సమీకరణాలు

కేంద్రం (h,k), వ్యాసార్థం r:

(x-h)² + (y-k)² = r²

కేంద్రం మూలం (0,0): x²+y² = r²

సాధారణ రూపం: x²+y²+2gx+2fy+c = 0

కేంద్రం = (-g,-f); r = √(g²+f²-c)

వృత్తానికి స్పర్శ రేఖ

x²+y² = r² వృత్తానికి (x₁,y₁) బిందువు వద్ద స్పర్శ రేఖ:

xx₁ + yy₁ = r²

బాహ్య బిందువు (x₁,y₁) నుండి స్పర్శ రేఖ పొడవు:

L = √(x₁²+y₁²-r²)

శంఖు చేదాలు — సూచిక

పరావలయం: y² = 4ax (ప్రధాన అక్షం x పై)

నాభి (a,0), నిర్దేశ రేఖ x = -a, శీర్షం (0,0)

దీర్ఘవృత్తం: x²/a²+y²/b² = 1 (a>b)

నాభులు (±c,0), c² = a²-b², విమర్శనాత్మకత e = c/a

అతిపరావలయం: x²/a²-y²/b² = 1

c² = a²+b², e = c/a > 1

సూత్ర వాల్ట్

రెండు బిందువుల మధ్య దూరం

d = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)

2D లో

మధ్య బిందువు

M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

విభాగ సూత్రం 1:1

వాలు (Slope)

m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = tanθ

θ = x-అక్షంతో కోణం

రేఖ-బిందువు దూరం

|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)

ax+by+c=0 రేఖ నుండి

లంబ వాలు నిబంధన

m₁×m₂ = -1

లంబ రేఖలకు

వృత్త కేంద్రం (సాధారణ)

(-g, -f)

x²+y²+2gx+2fy+c=0

వృత్త వ్యాసార్థం

r = √(g²+f²-c)

సాధారణ రూపం నుండి

పరావలయం నాభి

(a,0) for y²=4ax

శీర్షం (0,0)

దీర్ఘవృత్తం c

c² = a²-b² (a>b)

e = c/a < 1

స్పర్శ రేఖ పొడవు

√(x₁²+y₁²-r²)

బాహ్య బిందువు నుండి

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం (2,3) నుండి 3x+4y-5=0 కు దూరం▾

(2,3) బిందువు నుండి 3x+4y-5=0 రేఖకు దూరం.

d = |3(2)+4(3)-5|/√(9+16) = |6+12-5|/5 = 13/5 = 2.6

✓ దూరం = 13/5 = 2.6

సులభం x²+y²-4x-6y+9=0 వృత్తానికి కేంద్రం మరియు వ్యాసార్థం▾

x²+y²-4x-6y+9=0 కు కేంద్రం మరియు r.

2g=-4→g=-2; 2f=-6→f=-3; c=9. కేంద్రం=(-g,-f)=(2,3)

r=√(4+9-9) = √4 = 2

✓ కేంద్రం=(2,3), r=2

మధ్యస్థం (3,4) బిందువు నుండి x²+y²=25 కు స్పర్శ రేఖ పొడవు▾

(3,4) నుండి x²+y²=25 కు స్పర్శ రేఖ పొడవు.

L = √(x₁²+y₁²-r²) = √(9+16-25) = √0 = 0

L=0 → (3,4) వృత్తంపై ఉంది!

✓ స్పర్శ రేఖ పొడవు = 0 ((3,4) వృత్తంపై బిందువు)

EAPCET స్థాయి y²=8x పరావలయం నాభి, నిర్దేశ రేఖ, LR పొడవు▾

y²=8x కు నాభి, నిర్దేశ రేఖ, నాభి తంత్రి (LR) పొడవు.

y²=4ax తో పోల్చితే 4a=8 → a=2

నాభి=(a,0)=(2,0); నిర్దేశ రేఖ: x=-2; LR పొడవు=4a=8

✓ నాభి=(2,0), నిర్దేశ రేఖ: x=-2, LR=8

ఉచ్చు ప్రశ్న రేఖ x+y+1=0 మరియు x+y-3=0 మధ్య దూరం▾

x+y+1=0 మరియు x+y-3=0 మధ్య దూరం.

ఉచ్చు: |1-(-3)|/√(1+1) = 4/√2 అని రాస్తారు. c₁=1, c₂=-3 అంటే c₂ = -3 (x+y-3=0 లో c=-3).

d = |c₁-c₂|/√(a²+b²) = |1-(-3)|/√2 = 4/√2 = 2√2

✓ దూరం = 2√2

తప్పుల విశ్లేషణ

🔵

వృత్త కేంద్రం (-g,-f) కాకుండా (g,f) రాయడం

x²+y²+2gx+2fy+c=0 లో కేంద్రం = (-g,-f). మైనస్ మరచిపోరాదు.

❌ తప్పు

కేంద్రం = (g,f) ✗

✓ సరైనది

కేంద్రం = (-g,-f) ✓
మైనస్ మరచిపోవద్దు

💡 కేంద్రం = (-g,-f). 2g కొఫిషియంట్ నుండి g: 2g = coefficient of x → g = (coeff)/2.

📏

రేఖా దూరం సూత్రంలో |.| మరచిపోవడం

d = |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²). మాడ్యులస్ లేకుండా ఋణాత్మక దూరం వస్తుంది.

❌ తప్పు

d = (ax₁+by₁+c)/√(a²+b²)
ఋణాత్మకం వచ్చింది ✗

✓ సరైనది

d = |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²) ✓
దూరం ఎల్లప్పుడూ
ధనాత్మకం

💡 దూరం ఎల్లప్పుడూ ≥ 0. మాడ్యులస్ తప్పనిసరి.

🎯

పరావలయం y²=4ax లో a ని తప్పు లెక్కించడం

y²=8x లో 4a=8 కాబట్టి a=2. y²=8x ని y²=4(2)x గా చూడండి.

❌ తప్పు

y²=8x: a=8 ✗
(4a=8 కాకుండా
a=8 అన్నారు)

✓ సరైనది

4a=8 → a=2 ✓
నాభి=(2,0)
నిర్దేశ రేఖ: x=-2

💡 y²=4ax తో పోల్చి a కనుక్కోండి. y²=12x → 4a=12 → a=3.

🔢

లంబ రేఖల వాలు: m₁+m₂=-1 అని రాయడం

లంబ రేఖలకు m₁×m₂=-1 (గుణలబ్ధం). కూడిక కాదు.

❌ తప్పు

m₁+m₂=-1 ✗
(లంబ రేఖలకు)

✓ సరైనది

m₁×m₂=-1 ✓
సమాంతరం: m₁=m₂
లంబం: m₁m₂=-1

💡 లంబ రేఖలు: m₁m₂=-1 (గుణలబ్ధం). ఒక రేఖ వాలు 2 అయితే లంబ రేఖ వాలు -1/2.

⭕

వృత్త వ్యాసార్థం r = g²+f²-c అని రాయడం

r = √(g²+f²-c). వర్గమూలం మరచిపోవడం తప్పు.

❌ తప్పు

r = g²+f²-c ✗
(వర్గమూలం లేదు)

✓ సరైనది

r = √(g²+f²-c) ✓
వర్గమూలం తప్పనిసరి

💡 r² = g²+f²-c. r కనుక్కోవడానికి వర్గమూలం తీయాలి.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET వెయిటేజ్

సరళ రేఖల సమస్యలు

~10

వృత్త సమీకరణాలు

పరావలయం/దీర్ఘవృత్తం

స్పర్శ రేఖ సమస్యలు

PYQ నమూనాలు

రేఖ-బిందువు దూరంవృత్త కేంద్రం & r స్పర్శ రేఖ పొడవులంబ/సమాంతర రేఖలు పరావలయం నాభి

పరీక్షా వ్యూహం

వృత్తం x²+y²+2gx+2fy+c=0: కేంద్రం=(-g,-f), r=√(g²+f²-c). మైనస్ చిహ్నాలు జాగ్రత్తగా చూడండి.
రేఖ-బిందువు దూరం: |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²). మాడ్యులస్ తప్పనిసరి.
పరావలయం y²=4ax: 4a ని coefficient తో match చేయి → a కనుక్కో.
లంబ రేఖలు: m₁m₂=-1. అడ్డ లేదా నిలువు రేఖకు లంబం: వాలు అనంతం/0.

నిరూపక జ్యామితి — సరళ రేఖలు మరియు వృత్తాలు

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!