సమాకలన గణితం

భావన కోర్

ముఖ్య సమాకలన సూత్రాలు


f(x)∫f(x)dxf(x)∫f(x)dx
xⁿ (n≠-1)xⁿ⁺¹/(n+1)+Csin x-cos x+C
1/xln|x|+Ccos xsin x+C
eˣeˣ+Ctan xln|sec x|+C
aˣaˣ/ln a+Csec²xtan x+C
1/√(1-x²)sin⁻¹x+Ccosec²x-cot x+C
1/(1+x²)tan⁻¹x+Csec x tanxsec x+C

f(x)	∫f(x)dx	f(x)	∫f(x)dx
xⁿ (n≠-1)	xⁿ⁺¹/(n+1)+C	sin x	-cos x+C
1/x	ln\|x\|+C	cos x	sin x+C
eˣ	eˣ+C	tan x	ln\|sec x\|+C
aˣ	aˣ/ln a+C	sec²x	tan x+C
1/√(1-x²)	sin⁻¹x+C	cosec²x	-cot x+C
1/(1+x²)	tan⁻¹x+C	sec x tanx	sec x+C

ప్రత్యాదేశ పద్ధతి (Substitution)

∫f(g(x))g'(x)dx: u = g(x) పెట్టండి → du = g'(x)dx

సాధారణ రూపం: ∫[f'(x)/f(x)]dx = ln|f(x)|+C

ఉదా: ∫2x/(x²+1)dx: u=x²+1 → du=2x dx → ∫du/u = ln|u| = ln(x²+1)+C

భాగాలుగా సమాకలనం (Integration by Parts)

∫u·v dx = u∫v dx - ∫(u'·∫v dx)dx

ILATE క్రమం: I(అతీంద్రియ), L(లాగరిథమిక్), A(బీజగాంక), T(త్రికోణమితి), E(ఘాత)

ఉదా: ∫x·eˣdx: u=x, v=eˣ → x·eˣ-∫eˣdx = x·eˣ-eˣ+C = eˣ(x-1)+C

నిర్ణీత సమాకలనం మరియు ఫండమెంటల్ సిద్ధాంతం

∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b)-F(a)

ఇక్కడ F'(x) = f(x)

వక్రరేఖ మరియు x-అక్షం మధ్య వైశాల్యం = ∫ₐᵇ |f(x)|dx

రెండు వక్రరేఖల మధ్య: ∫ₐᵇ [f(x)-g(x)]dx (f(x)≥g(x))

నిర్ణీత సమాకలన ధర్మాలు

∫ₐᵇ f(x)dx = -∫ᵦₐ f(x)dx (అంతరాల మార్పు)

∫ₐᵃ f(x)dx = 0

∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx (f సమ/even), 0 (f విషమ/odd)

∫₀ᵃ f(x)dx = ∫₀ᵃ f(a-x)dx

పాక్షిక భిన్నాలు (Partial Fractions)

∫P(x)/Q(x)dx: Q(x) ని కారణాంకాలుగా విభజించండి

ఒకే మూలం (r): A/(x-r)

ద్విఘాత కారణాంకం: (Ax+B)/(ax²+bx+c)

సూత్ర వాల్ట్

∫xⁿdx

xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n≠-1

n=-1: ln|x|+C

∫eˣdx

eˣ+C

అవకలనం లాగానే

∫sin x dx

-cos x+C

మైనస్ గుర్తు!

∫cos x dx

sin x+C

ధనాత్మకం

∫sec²x dx

tan x+C

EAPCET తరచు వస్తుంది

∫1/(1+x²)dx

tan⁻¹x+C

విలోమ t్రికో

∫f'(x)/f(x)dx

ln|f(x)|+C

ప్రత్యాదేశ సూత్రం

భాగాలుగా

∫uv = u∫v-∫u'(∫v)

ILATE క్రమం

∫₀ᵃ f(a-x)dx

= ∫₀ᵃ f(x)dx

ముఖ్యమైన ధర్మం

వైశాల్యం

A = ∫ₐᵇ|f(x)|dx

|.| మరచిపోవద్దు

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం ∫(3x²+2x-5)dx▾

∫(3x²+2x-5)dx కనుక్కోండి.

= 3·x³/3 + 2·x²/2 - 5x + C = x³+x²-5x+C

✓ ∫(3x²+2x-5)dx = x³+x²-5x+C

మధ్యస్థం ∫2x·eˣ²dx▾

∫2x·eˣ²dx

u = x², du = 2x dx

∫eᵘdu = eᵘ+C = eˣ²+C

✓ = eˣ²+C

EAPCET స్థాయి ∫₀^(π/2) sin x dx▾

∫₀^(π/2) sin x dx

= [-cos x]₀^(π/2) = -cos(π/2)+cos(0) = 0+1 = 1

✓ = 1

EAPCET స్థాయి ∫x·ln x dx (భాగాలు)▾

∫x·ln x dx

ILATE: u=ln x, v=x → u'=1/x, ∫v=x²/2

= (ln x)·x²/2 - ∫(1/x)·(x²/2)dx = x²ln x/2 - ∫x/2 dx

= x²ln x/2 - x²/4 + C

✓ = x²(2ln x-1)/4 + C

ఉచ్చు ప్రశ్న ∫₋₁¹ x³ dx = ?▾

∫₋₁¹ x³ dx

ఉచ్చు: నేరుగా లెక్కిస్తే [x⁴/4]₋₁¹ = 1/4-1/4 = 0

x³ విషమ ఫంక్షన్ (odd): f(-x)=-f(x). అందుకే ∫₋ₐᵃ = 0.

✓ = 0 (విషమ ఫంక్షన్ యొక్క సమాకలనం సమ అంతరంలో)

తప్పుల విశ్లేషణ

➕

∫sin x dx = cos x+C (మైనస్ మరచిపోవడం)

❌ తప్పు

∫sin x dx = cos x+C ✗

✓ సరైనది

= -cos x+C ✓
d/dx(-cosx)=sinx

💡 ∫sin x = -cos x. ∫cos x = +sin x. మైనస్ sin కు మాత్రమే.

⛓️

∫e^(x²)dx = e^(x²)/2x అని రాయడం

❌ తప్పు

∫e^(x²)dx = e^(x²)/2x ✗
(అవకలనం తల్లకిందులు)

✓ సరైనది

∫e^(x²)dx అంత సులభంగా
రాదు. ∫2x·e^(x²)dx=e^(x²) ✓

💡 ∫e^(f(x))dx = e^(f(x))/f'(x) సూత్రం ఉండదు. ∫f'(x)·e^(f(x))dx = e^(f(x))+C మాత్రమే.

📏

వైశాల్య లెక్కలో |.| మరచిపోవడం

❌ తప్పు

A = ∫₋₁² (x²-1)dx ✗
(ఋణ విలువలు
రద్దు అవుతాయి)

✓ సరైనది

A = ∫₋₁² |x²-1|dx ✓
చిహ్న మార్పు వద్ద
విభజించాలి

💡 వైశాల్యం ఎల్లప్పుడూ ≥ 0. f(x) ఋణాత్మకమైన భాగాలలో -f(x) తీసుకోవాలి.

🔄

C (సమాకలన స్థిరాంకం) మరచిపోవడం

❌ తప్పు

∫2x dx = x² ✗

✓ సరైనది

∫2x dx = x²+C ✓
నిర్ణీత కానిదే C

💡 నిర్ణీత కాని సమాకలనంలో ఎల్లప్పుడూ +C రాయాలి. అది లేకుండా సమాధానం అసంపూర్ణం.

⚖️

∫(f(x))ⁿ dx = (f(x))ⁿ⁺¹/[(n+1)f'(x)] ఎల్లప్పుడూ వర్తిస్తుందని

❌ తప్పు

∫(x²+1)³ dx ≠ (x²+1)⁴/[4·2x] ✗
(f'(x) స్థిరం కాదు)

✓ సరైనది

∫(x²+1)³ dx: విస్తరించి
లేదా ప్రత్యేక పద్ధతి ✓
f'(x) స్థిరంగా ఉంటేనే

💡 ∫(ax+b)ⁿdx = (ax+b)ⁿ⁺¹/[(n+1)a]+C — f'(x) = a స్థిరాంకమైనప్పుడు మాత్రమే.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET వెయిటేజ్

ప్రత్యాదేశ పద్ధతి

~10

నిర్ణీత సమాకలనాలు

భాగాలుగా పద్ధతి

వైశాల్య లెక్కలు

PYQ నమూనాలు

ప్రత్యాదేశంతో ∫∫f'(x)/f(x)dx = ln|f| ∫ₐᵇ f(a-x) ధర్మంవైశాల్యం

పరీక్షా వ్యూహం

ప్రత్యాదేశ: లోపల ఫంక్షన్ = u. అవకలనం du = u' dx. తర్వాత u తో సమాకలనం.
∫f'(x)/f(x)dx = ln|f(x)|+C — ఇది EAPCET లో అత్యంత తరచు వచ్చే రూపం.
నిర్ణీత: ముందు anti-derivative F(x) కనుక్కోండి, తర్వాత F(b)-F(a).
వైశాల్య: |.| మరచిపోవద్దు. f(x) < 0 అయిన భాగాలలో -f(x) తీసుకోండి.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!