సంభావ్యత

భావన కోర్

సంభావ్యత — ముఖ్య సూత్రాలు

P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) P(Ā) = 1-P(A)

స్వతంత్ర సంఘటనలు: P(A∩B) = P(A)×P(B)

పరస్పర వర్జక (Mutually Exclusive): P(A∩B)=0 → P(A∪B)=P(A)+P(B)

సంపూర్ణ సంఘటనలు (Exhaustive): P(A)+P(Ā) = 1

షరతు సంభావ్యత (Conditional)

B సంభవించిన షరతులో A యొక్క సంభావ్యత:

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B)>0

గుణకారం నియమం: P(A∩B) = P(B)×P(A|B) = P(A)×P(B|A)

స్వతంత్ర సంఘటనలకు: P(A|B) = P(A)

మొత్తం సంభావ్యత మరియు Bayes

మొత్తం సంభావ్యత: P(A) = ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ)

(B₁,B₂,...Bₙ పరస్పర వర్జక, సంపూర్ణ విభజన)

Bayes సిద్ధాంతం:

P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ)

Binomial పంపిణీ

n ప్రయత్నాలలో x విజయాల సంభావ్యత:

P(X=x) = nCx × pˣ × qⁿ⁻ˣ

p = ఒక ప్రయత్నంలో విజయ సంభావ్యత, q = 1-p

సగటు μ = np, వ్యత్యాసం σ² = npq

తాసు/నాణెం/పాచికల సంభావ్యతలు

నాణెం (తల లేదా బొమ్మ): n సార్లు వేసినప్పుడు నమూనా అవకాశాలు = 2ⁿ

పాచిక (1-6): ఒక పాచికలో n మొత్తం అవకాశాలు = 6

రెండు పాచికలు: మొత్తం = 36 అవకాశాలు

ఆడ పేకాలు (52): ఇటు=26, అదీ=26, ప్రతి రంగు 4 రకాలు, ప్రతి రకం 13

అసంభావ్య మరియు నిశ్చిత సంఘటనలు

అసంభావ్య సంఘటన (Impossible Event): P=0 (ఎప్పటికీ జరగదు)

నిశ్చిత సంఘటన (Sure Event): P=1 (ఎల్లప్పుడూ జరుగుతుంది)

0 ≤ P(A) ≤ 1 (సంభావ్యత పరిధి)

అడ్డులు (Odds): అనుకూలం:వ్యతిరేకం = P(A):P(Ā)

సూత్ర వాల్ట్

కూడిక నియమం

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

రెండు సంఘటనలు

పూరక సంఘటన

P(Ā) = 1-P(A)

కనీసం ఒకటి = 1-ఏదీ కాదు

స్వతంత్ర సంఘటనలు

P(A∩B) = P(A)×P(B)

P(A|B) = P(A)

షరతు సంభావ్యత

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

B తెలిసినప్పుడు A

Binomial P(X=x)

nCx·pˣ·qⁿ⁻ˣ

q = 1-p

Binomial సగటు

μ = np

σ² = npq

మొత్తం సంభావ్యత

P(A) = ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ)

విభాజన సిద్ధాంతం

అడ్డులు (Odds)

Odds = P(A)/(1-P(A))

అనుకూల:వ్యతిరేక

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.1 అయిన P(A∪B)▾

P(A∪B) కనుక్కోండి.

P(A∪B) = 0.3+0.4-0.1 = 0.6

✓ P(A∪B) = 0.6

మధ్యస్థం నాణెం 3 సార్లు వేసినప్పుడు కనీసం ఒక తల సంభావ్యత▾

నాణెం 3 సార్లు వేసినప్పుడు కనీసం 1 తల సంభావ్యత.

P(కనీసం 1 తల) = 1 - P(తల లేదు) = 1 - (1/2)³ = 1-1/8 = 7/8

✓ P(కనీసం 1 తల) = 7/8

EAPCET స్థాయి Binomial: n=5, p=1/3 అయినప్పుడు P(X=2)▾

n=5, p=1/3. P(X=2) కనుక్కోండి.

q = 1-1/3 = 2/3

P(X=2) = ⁵C₂×(1/3)²×(2/3)³ = 10×(1/9)×(8/27) = 80/243

✓ P(X=2) = 80/243

ఉచ్చు ప్రశ్న పరస్పర వర్జక సంఘటనలు స్వతంత్రంగా కూడా ఉంటాయా?▾

P(A)>0, P(B)>0. A మరియు B పరస్పర వర్జక అయితే స్వతంత్రంగా ఉంటాయా?

పరస్పర వర్జక: P(A∩B)=0

స్వతంత్రానికి: P(A∩B) = P(A)×P(B) అవసరం

P(A)>0, P(B)>0 → P(A)×P(B) > 0 ≠ 0 → స్వతంత్రం కాదు

✓ P(A)>0 మరియు P(B)>0 అయినప్పుడు, పరస్పర వర్జక సంఘటనలు స్వతంత్రం కావు.

తప్పుల విశ్లేషణ

🎲

P(A∪B) = P(A)+P(B) ఎల్లప్పుడూ అని అనుకోవడం

పరస్పర వర్జక కానప్పుడు P(A∩B) తీయాలి.

❌ తప్పు

P(A∪B) = P(A)+P(B) ✗
(పరస్పర వర్జక
కానప్పుడు)

✓ సరైనది

P(A∪B) = P(A)+P(B)
-P(A∩B) ✓
మినహాయించే తీయాలి

💡 P(A∩B) = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే P(A∪B) = P(A)+P(B).

🪙

కనీసం ఒకటి లెక్కించడానికి నేరుగా ప్రయత్నించడం

కనీసం ఒకటి = 1 - ఏదీ కాదు (పూరక పద్ధతి వేగంగా ఉంటుంది).

❌ తప్పు

P(1)+P(2)+P(3)... అన్నీ
లెక్కించడం ✗
(నెమ్మది)

✓ సరైనది

P(కనీసం 1) = 1-P(0) ✓
పూరక పద్ధతి
వేగంగా, సులభంగా

💡 "కనీసం 1" ప్రశ్నలకు: P = 1 - P(ఏదీ కాదు). ఎల్లప్పుడూ పూరక పద్ధతి వాడండి.

🔀

స్వతంత్ర సంఘటనలు పరస్పర వర్జక అని అనుకోవడం

స్వతంత్ర: P(A∩B)=P(A)P(B). పరస్పర వర్జక: P(A∩B)=0. రెండూ ఒకటే కాదు.

❌ తప్పు

స్వతంత్ర → పరస్పర
వర్జక ✗

✓ సరైనది

రెండు వేర్వేరు భావనలు ✓
P(A)>0,P(B)>0:
పరస్పర వర్జక ≠ స్వతంత్ర

💡 పరస్పర వర్జక (ME): ఒకటి జరిగితే మరొకటి జరగదు. స్వతంత్ర (Ind): ఒకటి మరొకటిని ప్రభావితం చేయదు.

📊

Binomial లో q = p అని రాయడం

q = 1-p (వైఫల్య సంభావ్యత). p+q = 1 ఎల్లప్పుడూ.

❌ తప్పు

p=1/3: q=1/3 ✗
(q=p అని)

✓ సరైనది

q = 1-p = 1-1/3 = 2/3 ✓
p+q = 1 ఎల్లప్పుడూ

💡 Binomial: q = 1-p. p+q = 1. P(X=x) = nCx·pˣ·qⁿ⁻ˣ. q కూడా సరిగ్గా లెక్కించాలి.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET వెయిటేజ్

కూడిక నియమం

Binomial పంపిణీ

షరతు సంభావ్యత

Bayes సిద్ధాంతం

PYQ నమూనాలు

కనీసం ఒకటి (పూరక పద్ధతి)Binomial P(X=x) P(A|B) లెక్కస్వతంత్ర/ME గుర్తింపు

పరీక్షా వ్యూహం

P(A∪B): రెండు సంఘటనలు — ఎల్లప్పుడూ P(A)+P(B)-P(A∩B). ME అయినప్పుడు మాత్రమే -P(A∩B) = 0.
కనీసం 1: 1-P(ఏదీ కాదు). ఇది అత్యంత వేగంగా పని చేసే పద్ధతి.
Binomial: P(X=x) = nCx·pˣ·(1-p)ⁿ⁻ˣ. p+q=1 తప్పనిసరి. సగటు np, వ్యత్యాసం npq.
స్వతంత్ర: P(A∩B) = P(A)P(B). ME: P(A∩B) = 0. రెండూ వేర్వేరు.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!