సంకీర్ణ సంఖ్యలు

భావన కోర్

కల్పిత యూనిట్ i నుండి ఆర్గాండ్ సమతలం వరకు — పరీక్షకు కావలసిన మొత్తం సిద్ధాంతం.

కల్పిత యూనిట్ i మరియు i ల శక్తులు

i = √(-1) గా నిర్వచిస్తారు. i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 — ఇవి చక్రీయంగా 4 తో పునరావృతమవుతాయి.

i⁰=1 | i¹=i | i²=-1 | i³=-i | i⁴=1 | i⁴ᵏ=1 ఎల్లప్పుడూ

iⁿ కనుక్కోవడం: n ÷ 4 చేసి శేషాన్ని చూడండి. శేషం 0→1, 1→i, 2→-1, 3→-i.

ప్రామాణిక రూపం మరియు మూల చతుష్టయం

సంకీర్ణ సంఖ్య: z = a + ib (a = వాస్తవ భాగం, b = కల్పిత భాగం)

కూడిక: (a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d)

గుణకారం: (a+ib)(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc)

భాగహారం: హారాన్ని సంయుగ్మంతో గుణించండి

మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గుమెంట్

మాడ్యులస్: |z| = √(a²+b²) — మూలం నుండి దూరం

ఆర్గుమెంట్: arg(z) = θ = tan⁻¹(b/a) — ధనాత్మక x అక్షంతో కోణం

ధ్రువ రూపం: z = r(cosθ + i sinθ) ఇక్కడ r = |z|

|z₁z₂| = |z₁||z₂| arg(z₁z₂) = arg(z₁)+arg(z₂)

సంయుగ్మం (Conjugate)

z = a+ib అయితే సంయుగ్మం z̄ = a-ib (కల్పిత భాగం సంకేతం మార్చండి)

z·z̄ = a²+b² = |z|² | z+z̄ = 2a | z-z̄ = 2ib

భాగహారంలో z̄ ఉపయోగం: (a+ib) తో భాగిస్తే (a-ib)/(a²+b²) తో గుణించండి

ఆర్గాండ్ సమతలం (Argand Plane)

z = a+ib ని (a,b) బిందువుగా చూపించండి. వాస్తవ అక్షం x-అక్షం, కల్పిత అక్షం y-అక్షం.

z₁ మరియు z₂ మధ్య దూరం: |z₁-z₂|

మధ్య బిందువు: (z₁+z₂)/2

|z| = r → మూలం కేంద్రంగా r వ్యాసార్థం గల వృత్తం

డి మోయిర్ సిద్ధాంతం

పూర్ణాంక n కు: (cosθ+i sinθ)ⁿ = cos(nθ)+i sin(nθ)

(reⁱθ)ⁿ = rⁿ eⁱⁿθ = rⁿ(cos nθ+i sin nθ)

యూనిటి యొక్క n వ మూలాలు మరియు ఘాత సంఖ్యల కోసం ఉపయోగించండి.

యూనిటి యొక్క ఘన మూలాలు (ω) — EAPCET అభిమాన అంశం

1 యొక్క ఘన మూలాలు: 1, ω, ω² ఇక్కడ ω = (-1+i√3)/2

1+ω+ω² = 0 ω³ = 1 ω̄ = ω²

ఈ సమీకరణాలు సమస్యలను తక్షణమే పరిష్కరిస్తాయి. 1+ω = -ω², 1+ω² = -ω అని గుర్తుంచుకోండి.

మరియు: |ω| = 1, arg(ω) = 120°, arg(ω²) = 240°. అవి యూనిట్ వృత్తంపై ఉన్నాయి.

సూత్ర వాల్ట్

సంకీర్ణ సంఖ్యల అన్ని సూత్రాలు.

కల్పిత యూనిట్

i = √(-1); i² = -1

4 కాలంతో చక్రీయం

ప్రామాణిక రూపం

z = a+ib

Re(z) = a; Im(z) = b

మాడ్యులస్

|z| = √(a²+b²)

మూలం నుండి దూరం

సంయుగ్మం

z̄ = a-ib

z·z̄ = |z|²

ఆర్గుమెంట్

arg(z) = tan⁻¹(b/a)

చతుర్భాగం బట్టి సర్దుబాటు చేయండి

ధ్రువ రూపం

z = r(cosθ+i sinθ)

r = |z|; θ = arg(z)

డి మోయిర్ సిద్ధాంతం

(cosθ+i sinθ)ⁿ = cosnθ+i sinnθ

పూర్ణాంక n కు

ఘన మూలాలు

1+ω+ω² = 0; ω³ = 1

ω = (-1+i√3)/2

గుణకారం మాడ్యులస్

|z₁z₂| = |z₁|·|z₂|

arg(z₁z₂) = arg z₁+arg z₂

త్రిభుజ అసమానత

|z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂|

||z₁|-|z₂|| ≤ |z₁-z₂|

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

iⁿ శక్తుల నుండి ఘన మూలాల వరకు — అన్ని EAPCET నమూనాలు.

సులభం i⁵⁷+i⁵⁸+i⁵⁹+i⁶⁰ విలువ కనుక్కోండి ▾

i⁵⁷+i⁵⁸+i⁵⁹+i⁶⁰ విలువ కనుక్కోండి.

60÷4=15 శేషం 0 → i⁶⁰ = 1; 57÷4 శేషం 1 → i; 58÷4 శేషం 2 → -1; 59÷4 శేషం 3 → -i

మొత్తం = i+(-1)+(-i)+1 = 0

✓ i⁵⁷+i⁵⁸+i⁵⁹+i⁶⁰ = 0 (వరుసగా 4 i శక్తుల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 0)

సులభం z = 1-i కు |z| మరియు arg(z) కనుక్కోండి ▾

z = 1-i కు మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గుమెంట్ కనుక్కోండి.

|z| = √(1²+(-1)²) = √2

ప్రాథమిక కోణం: tan⁻¹(1/1) = π/4. z 4వ చతుర్భాగంలో ఉంది (ధన వాస్తవ, ఋణ కల్పిత)

arg(z) = -π/4 (లేదా 315°)

✓ |z| = √2, arg(z) = -π/4

మధ్యస్థం (1+i)/(1-i) ని సరళపరచండి ▾

(1+i)/(1-i) ని a+ib రూపంలో రాయండి.

హారాన్ని దాని సంయుగ్మంతో గుణించండి: (1+i)(1+i) / [(1-i)(1+i)]

హారం: 1+1 = 2. లవం: (1+i)² = 1+2i-1 = 2i

ఫలితం: 2i/2 = i

✓ (1+i)/(1-i) = i, |i| = 1

EAPCET స్థాయి ω ఉపయోగించి (1-ω+ω²)⁴+(1+ω-ω²)⁴ కనుక్కోండి ▾

1, ω, ω² ఘన మూలాలైతే (1-ω+ω²)⁴+(1+ω-ω²)⁴ కనుక్కోండి.

1+ω+ω²=0 నుండి: 1+ω²=-ω మరియు 1+ω=-ω²

1-ω+ω² = (1+ω²)-ω = -ω-ω = -2ω

1+ω-ω² = (1+ω)-ω² = -ω²-ω² = -2ω²

(-2ω)⁴+(-2ω²)⁴ = 16ω⁴+16ω⁸ = 16ω+16ω² = 16(ω+ω²) = 16(-1) = -16

✓ ఫలితం = -16

ఉచ్చు ప్రశ్న |z-2| = |z+2| అయితే z యొక్క బిందుపథం కనుక్కోండి ▾

z = x+iy కు |z-2| = |z+2| అయితే బిందుపథం ఏమిటి?

ఉచ్చు: బీజగణితంగా విప్పడానికి ప్రయత్నిస్తే క్లిష్టంగా ఉంటుంది. జ్యామితీయ అర్థం వాడండి.

|z-2| = z నుండి (2,0) కు దూరం. |z+2| = z నుండి (-2,0) కు దూరం.

రెండు బిందువుల నుండి సమదూరం → y-అక్షం (లంబ సమద్విభాజకం)

✓ బిందుపథం: కల్పిత అక్షం (y-అక్షం): Re(z) = 0

తప్పుల విశ్లేషణ

EAPCET లో సంకీర్ణ సంఖ్యల ప్రశ్నలలో చేసే 4 తప్పులు.

🔢

iⁿ లెక్కించేటప్పుడు చక్రం వాడకపోవడం

i²³ కనుక్కోవడానికి పదే పదే i తో గుణిస్తారు — n÷4 శేషం వాడండి.

❌ తప్పు

i²³ = i²²×i
= (i²)¹¹×i
= (-1)¹¹×i = -i
(సరైనది కానీ నెమ్మది)

✓ సరైనది

23÷4 = 5 శేషం 3
i²³ = i³ = -i ✓
5 సెకన్లలో
సమాధానం

💡 n÷4 శేషం 0→1, 1→i, 2→-1, 3→-i. ఇది పరీక్షలో అతివేగంగా చేసే పద్ధతి.

📐

ఆర్గుమెంట్ చతుర్భాగ లోపం

tan⁻¹(b/a) ఉపయోగించి చతుర్భాగం చూడకపోవడం వల్ల తప్పు కోణం వస్తుంది.

❌ తప్పు

z = -1+i√3:
arg = tan⁻¹(√3/-1)
= -60° ✗
(4వ చతుర్భాగ కోణం)

✓ సరైనది

z 2వ చతుర్భాగంలో
arg = 180°-60° = 120°
= 2π/3 ✓

💡 tan⁻¹(b/a) ప్రాథమిక కోణం మాత్రమే. 2వ చతుర్భాగం→π-θ, 3వ→π+θ, 4వ→-θ.

🔄

ω³=1 మరియు 1+ω+ω²=0 మరచిపోవడం

ఈ రెండు సూత్రాలు తెలియకపోతే ω ప్రశ్నలు చాలా క్లిష్టంగా కనిపిస్తాయి.

❌ తప్పు

(1+ω)⁸ ని
ద్విపద సూత్రంతో
విప్పడం ✗
(చాలా నెమ్మది)

✓ సరైనది

1+ω = -ω²
(1+ω)⁸ = (-ω²)⁸
= ω¹⁶ = ω ✓
(ω³=1 వాడాం)

💡 కంఠస్థం: 1+ω+ω²=0, ω³=1, ω̄=ω². ఈ మూడు ω సమస్యలలో 90% ని 30 సెకన్లలో పరిష్కరిస్తాయి.

🌀

|z₁+z₂| = |z₁|+|z₂| ఎల్లప్పుడూ అనుకోవడం

త్రిభుజ అసమానత అసమానత మాత్రమే — సమానత ప్రత్యేక సందర్భంలో మాత్రమే.

❌ తప్పు

|z₁+z₂| = |z₁|+|z₂|
ఎల్లప్పుడూ ✗

✓ సరైనది

|z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂| ✓
సమానత: arg(z₁)=arg(z₂)
(ఒకే దిశలో) మాత్రమే

💡 అసమానత అంచు విలువలు ఇస్తుంది. ఖచ్చిత లెక్కకు |z|² = z·z̄ ఉపయోగించండి.

అధ్యాయ తెలివిడి

వెయిటేజ్, PYQ నమూనాలు, మరియు పరీక్షా వ్యూహం.

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

ఘన మూలాలు (ω)

మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గుమెంట్

ఆర్గాండ్ సమతలం/బిందుపథం

i శక్తులు

డి మోయిర్ సిద్ధాంతం

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

(1+ω)ⁿ లేదా (1-ω+ω²)ⁿ arg(z) కనుక్కోవడం బిందుపథం: |z-a| = |z-b| పెద్ద i శక్తులు సంయుగ్మంతో సరళీకరణ

పరీక్షా వ్యూహం

iⁿ ప్రశ్నలకు: ముందు n÷4 శేషం కనుక్కోండి. 5 సెకన్లలో జవాబు వస్తుంది.
ω ప్రశ్నలకు: వెంటనే 1+ω=-ω² మరియు 1+ω²=-ω రాయండి. ఇవి సమస్యను ఒక అడుగులో తగ్గిస్తాయి.
బిందుపథ ప్రశ్నలకు: బీజగణితానికి ముందు జ్యామితీయ అర్థం ఆలోచించండి. |z-a| = |z-b| ఎల్లప్పుడూ లంబ సమద్విభాజకం.
మాడ్యులస్ ప్రశ్నలకు: |z|² = z·z̄ ఉపయోగించండి. చదరపు మూలాలు చివర తీయండి.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!