త్రికోణమితి

భావన కోర్

పాయిథాగోరియన్ నుండి విలోమ ఫంక్షన్ వరకు — EAPCET త్రికోణమితి సారాంశం.

ముఖ్య అనుబంధ సూత్రాలు

sin²θ + cos²θ = 1 | 1+tan²θ = sec²θ | 1+cot²θ = cosec²θ

sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanA tanB)

sin2A = 2sinA cosA | cos2A = cos²A-sin²A = 1-2sin²A = 2cos²A-1

tan2A = 2tanA/(1-tan²A)

ప్రత్యేక కోణాల విలువలు

కోణం	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3
45°	1/√2	1/√2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	∞

మిశ్రమ ఉత్పత్తి సూత్రాలు

sinC + sinD = 2 sin((C+D)/2) cos((C-D)/2)

sinC - sinD = 2 cos((C+D)/2) sin((C-D)/2)

cosC + cosD = 2 cos((C+D)/2) cos((C-D)/2)

cosC - cosD = -2 sin((C+D)/2) sin((C-D)/2)

విలోమ త్రికోణమితి

sin⁻¹(x)+cos⁻¹(x) = π/2 | tan⁻¹(x)+cot⁻¹(x) = π/2

sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹(x) | cos⁻¹(-x) = π-cos⁻¹(x)

tan⁻¹(x)+tan⁻¹(y) = tan⁻¹((x+y)/(1-xy)), xy<1

2tan⁻¹(x) = sin⁻¹(2x/(1+x²)) = cos⁻¹((1-x²)/(1+x²))

త్రిభుజాలకు నియమాలు

సైన్ నియమం: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

కొసైన్ నియమం: a² = b²+c²-2bc cosA

t్రిభుజ వైశాల్యం: Δ = ½ab sinC = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

s = (a+b+c)/2 (అర్ధపరిమితి)

EAPCET వ్యూహం

అన్ని cos2A రూపాలు (3 రూపాలు) కంఠస్థం అవసరం. సంకల-వ్యవకలన సూత్రాలు నేరుగా వర్తిస్తాయి.

విలోమ t్రికోణమితిలో: sin⁻¹+cos⁻¹ = π/2 ఒక్క సూత్రం చాలా ప్రశ్నలు పరిష్కరిస్తుంది.

సూత్ర వాల్ట్

sin(A±B)

sinA cosB ± cosA sinB

సంకేతం బి కు వర్తిస్తుంది

cos(A±B)

cosA cosB ∓ sinA sinB

cos లో ± తిరగబడుతుంది

sin2A

2sinA cosA

= 2tanA/(1+tan²A)

cos2A (3 రూపాలు)

cos²A-sin²A = 1-2sin²A = 2cos²A-1

అన్ని 3 రూపాలు ముఖ్యం

sin²A

(1-cos2A)/2

సమాకలన గణితంలో ఉపయోగం

cos²A

(1+cos2A)/2

సమాకలన గణితంలో ఉపయోగం

sinC+sinD

2sin((C+D)/2)cos((C-D)/2)

SUM to PRODUCT

విలోమ: sin⁻¹+cos⁻¹

= π/2

ఎల్లప్పుడూ సత్యం

సైన్ నియమం

a/sinA = 2R

R = పరివృత్త వ్యాసార్థం

కొసైన్ నియమం

cosA = (b²+c²-a²)/2bc

కోణం కోసం

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం sin75° విలువ కనుక్కోండి▾

sin75° = sin(45°+30°) విలువ కనుక్కోండి.

sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°

= (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2) = (√3+1)/(2√2) = (√6+√2)/4

✓ sin75° = (√6+√2)/4

మధ్యస్థం cos2A = 1-2sin²A నుండి sin²15° కనుక్కోండి▾

cos2A = 1-2sin²A వాడి sin²15° కనుక్కోండి.

sin²15° = (1-cos30°)/2 = (1-√3/2)/2 = (2-√3)/4

✓ sin²15° = (2-√3)/4

EAPCET స్థాయి tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) విలువ▾

tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) = ?

tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x+y)/(1-xy)), xy<1

= tan⁻¹((1/2+1/3)/(1-1/6)) = tan⁻¹((5/6)/(5/6)) = tan⁻¹(1) = π/4

✓ tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) = π/4

EAPCET స్థాయి a=√6, b=√2, C=30° అయిన త్రిభుజంలో c కనుక్కోండి▾

a=√6, b=√2, C=30°. కొసైన్ నియమంతో c కనుక్కోండి.

c² = a²+b²-2ab cosC = 6+2-2√6·√2·cos30° = 8-2√12·(√3/2)

= 8-√12·√3 = 8-√36 = 8-6 = 2 → c = √2

✓ c = √2

ఉచ్చు ప్రశ్న sin⁻¹(sin 3π/4) = 3π/4 అని చెప్పవచ్చా?▾

sin⁻¹(sin(3π/4)) = ?

ఉచ్చు: 3π/4 sin⁻¹ పరిధి [-π/2, π/2] బయట

sin(3π/4) = sin(π-π/4) = sin(π/4). కాబట్టి sin⁻¹(sin(π/4)) = π/4

✓ sin⁻¹(sin 3π/4) = π/4 (పరిధి [-π/2, π/2] లో ఉన్న విలువ)

తప్పుల విశ్లేషణ

📐

cos(A+B) = cosA+cosB అని రాయడం

cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB. కూడిక రూపం లేదు.

❌ తప్పు

cos(A+B) = cosA+cosB ✗
(sin లో కూడా ఇలా అనుకుంటారు)

✓ సరైనది

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ✓
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ✓

💡 sin(A+B) మరియు cos(A+B) కి ఒక్కొక్క 4 పద సూత్రాలు ఉంటాయి.

🔄

cos2A = cos²A - sin²A మాత్రమే గుర్తుంచుకోవడం

cos2A = 1-2sin²A = 2cos²A-1 రూపాలు కూడా ముఖ్యం.

❌ తప్పు

sin²A కనుక్కోవడానికి
cos²A-sin²A వాడి
నిరూపించలేకపోవడం ✗

✓ సరైనది

sin²A = (1-cos2A)/2 ✓
cos²A = (1+cos2A)/2 ✓
నేరుగా పొందవచ్చు

💡 cos2A యొక్క మూడు రూపాలు కంఠస్థం: cos²A-sin²A, 1-2sin²A, 2cos²A-1.

↩️

sin⁻¹(sin x) = x ఎల్లప్పుడూ అని తప్పుగా అనుకోవడం

sin⁻¹(sin x) = x కేవలం x ∈ [-π/2, π/2] అయినప్పుడు మాత్రమే.

❌ తప్పు

sin⁻¹(sin 3π/4) = 3π/4 ✗
(పరిధి బయట)

✓ సరైనది

sin(3π/4) = sin(π/4)
sin⁻¹(sin(π/4)) = π/4 ✓
పరిధి [-π/2,π/2]

💡 విలోమ t్రికోణమిత్య ఫంక్షన్లకు పరిధి ఉంటుంది. sin⁻¹: [-π/2,π/2], cos⁻¹: [0,π], tan⁻¹: (-π/2,π/2).

➕

sinA + sinB = sin(A+B) అని రాయడం

sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2). నేరుగా కూడలేరు.

❌ తప్పు

sin30°+sin60° = sin90° = 1 ✗
(లెక్కించండి: 1/2+√3/2 ≈ 1.37 ≠ 1)

✓ సరైనది

sin30°+sin60° = (1+√3)/2 ✓
= 2sin45°cos15°
మొత్తం-గుణలబ్ధం వాడండి

💡 sinA+sinB ≠ sin(A+B). మొత్తం-గుణలబ్ధం సూత్రాలు వాడాలి.

📏

సైన్ నియమంలో a/sinA = R అని రాయడం

a/sinA = 2R (2R, R కాదు). R పరివృత్త వ్యాసార్థం.

❌ తప్పు

a/sinA = R ✗
(R తక్కువ — 2R అవుతుంది)

✓ సరైనది

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R ✓
R = పరివృత్త వ్యాసార్థం

💡 సైన్ నియమం: a/sinA = 2R. R = వ్యాసార్థం, 2R = వ్యాసం.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

సమ్మేళన కోణాలు / cos2A

~10

విలోమ t్రికోణమితి

మొత్తం-గుణలబ్ధం సూత్రాలు

సైన్/కొసైన్ నియమాలు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

sin75°, cos75° విలువలు tan⁻¹x + tan⁻¹y సమ్మేళనం sin²A, cos²A రూపాంతరం కొసైన్ నియమం అనువర్తనం విలోమ ఫంక్షన్ పరిధి

పరీక్షా వ్యూహం

cos2A మూడు రూపాలు కంఠస్థం — ఏ రూపం వాడాలో సమస్య చూసి నిర్ణయించండి.
విలోమ t్రికోణమిత్యంలో: sin⁻¹+cos⁻¹=π/2 ఒక్క సూత్రం 2-3 ప్రశ్నలు పరిష్కరిస్తుంది.
ప్రత్యేక కోణాల విలువలు (0°,30°,45°,60°,90°) వేగంగా నోటికి వచ్చేలా సాధన చేయండి.
tan⁻¹x+tan⁻¹y: xy<1 అయితే సూత్రం నేరుగా వర్తిస్తుంది. xy>1 అయితే π చేర్చండి.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!