వర్గ సమీకరణాలు

భావన కోర్

మూలాల నుండి మాయా సమీకరణాల వరకు — పరీక్షకు కావలసిన మొత్తం సిద్ధాంతం.

వర్గ సమీకరణం — నిర్వచనం

ax² + bx + c = 0 రూపంలో ఉండే సమీకరణాన్ని వర్గ సమీకరణం అంటారు. ఇక్కడ a ≠ 0.

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

x యొక్క అత్యధిక ఘాతం 2. a ని ప్రధాన గుణకం (leading coefficient) అంటారు.

ద్విఘాత సూత్రం (Quadratic Formula)

ఏ వర్గ సమీకరణమైనా ఈ సూత్రంతో పరిష్కరించవచ్చు:

x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

ఇక్కడ b²-4ac ను విభేదనం (Discriminant, D) అంటారు.

విభేదనం — మూలాల స్వభావం

D = b² - 4ac అనేది మూలాల స్వభావాన్ని నిర్ణయిస్తుంది:

✦ D > 0 → రెండు వాస్తవ, అసమాన మూలాలు

✦ D = 0 → రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు (α = β)

✦ D < 0 → రెండు సంకీర్ణ మూలాలు (complex roots)

✦ D ≥ 0, పూర్ణ వర్గం → పరిమేయ మూలాలు (rational roots)

వియేటా సూత్రాలు (Vieta's Formulas)

మూలాలు α మరియు β అయితే:

α + β = -b/a αβ = c/a

వాటిని గుర్తుంచుకోవటం సులభం: α+β = -b/a (b పై మైనస్), αβ = c/a.

ఈ సూత్రాలతో సమీకరణ పరిష్కారం లేకుండా మూలాల గురించి చాలా సమాచారం తెలుసుకోవచ్చు!

మూలాల ఆధారంగా ఉపయోగకర సూత్రాలు

మూలాలు α, β అయినప్పుడు:

α - β = √D / |a| = √(b²-4ac) / |a|

α² + β² = (α+β)² - 2αβ = b²/a² - 2c/a

α² - β² = (α+β)(α-β)

α³ + β³ = (α+β)³ - 3αβ(α+β)

సమీకరణ నిర్మాణం

మూలాలు α, β అని తెలిసినప్పుడు సమీకరణాన్ని నిర్మించడం:

x² - (α+β)x + αβ = 0

లేదా: x² - (మూలాల మొత్తం)x + (మూలాల గుణలబ్ధం) = 0

ఉదా: మూలాలు 3 మరియు -5 అయితే: x² - (3+(-5))x + (3×-5) = 0 → x² + 2x - 15 = 0

ప్రతి మూలాల (Reciprocal Roots) మరియు ప్రతిలోమ మూలాల సూత్రాలు

ప్రతి మూలాల (1/α, 1/β) సమీకరణం: ax² + bx + c = 0 లో x స్థానంలో 1/x పెట్టండి → cx² + bx + a = 0

వ్యతిరేక మూలాల (-α, -β) సమీకరణం: x స్థానంలో -x పెట్టండి → ax² - bx + c = 0

మూలాలు k రెట్లు (kα, kβ) అయితే: బీజాంకాలు a, kb, k²c అవుతాయి

గమనిక: సమీకరణంలో ఒక మూలం తెలిసినప్పుడు, రెండవ మూలాన్ని విభేదన నిర్వచనం ద్వారా కాదు — వియేటా సూత్రాల ద్వారా కనుక్కోవడం వేగంగా ఉంటుంది.

సూత్ర వాల్ట్

వర్గ సమీకరణాలకు సంబంధించిన అన్ని సూత్రాలు — ప్రింట్ చేయదగినవి.

ద్విఘాత సూత్రం

x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

సార్వత్రిక పరిష్కారం — అన్ని వర్గ సమీకరణాలకు వర్తిస్తుంది

విభేదనం (Discriminant)

D = b² - 4ac

D>0: రెండు వాస్తవ మూలాలు | D=0: సమాన మూలాలు | D<0: సంకీర్ణ మూలాలు

మూలాల మొత్తం

α + β = -b/a

b పై మైనస్ — సంకేతం మరచిపోవద్దు

మూలాల గుణలబ్ధం

αβ = c/a

c ని a తో భాగించు

మూలాల అంతరం

α - β = √D / |a|

D = b²-4ac; α > β అని అనుకుంటే

మూలాల వర్గాల మొత్తం

α² + β² = (α+β)² - 2αβ

= b²/a² - 2c/a

మూలాల ఘనాల మొత్తం

α³ + β³ = (α+β)³ - 3αβ(α+β)

పరీక్షలో తరచుగా వస్తుంది

సమీకరణ నిర్మాణం

x² - (α+β)x + αβ = 0

మూలాలు తెలిసినప్పుడు నేరుగా సమీకరణం రాయండి

ప్రతి మూలాల సమీకరణం

cx² + bx + a = 0

మొదటి మరియు చివరి బీజాంకాలు మార్చు

మూలాలు సమానమవ్వడానికి

D = 0 ⟹ b² = 4ac

k మానం కోసం పరీక్ష అడుగుతుంది

ఒక మూలం ఇతరదాని రెట్టింపు

β = 2α ⟹ 2b² = 9ac

వియేటాతో β = 2α ని పెట్టి తగ్గించండి

వర్గ సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాల పరిధి

f(k) = ak² + bk + c

k ని పరిధిలో ఉండటానికి f(k) · a > 0 అవసరం

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం నుండి EAPCET స్థాయి వరకు — అన్ని నమూనాలు.

సులభం 2x² - 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాల మొత్తం మరియు గుణలబ్ధం కనుక్కోండి ▾

సమీకరణం 2x² - 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలు α, β అయితే α+β మరియు αβ కనుక్కోండి.

ఇక్కడ a = 2, b = -5, c = 3

α + β = -b/a = -(-5)/2 = 5/2

αβ = c/a = 3/2 = 3/2

✓ α + β = 5/2 మరియు αβ = 3/2

సులభం మూలాలు 2 మరియు -3 అయిన వర్గ సమీకరణం రాయండి ▾

మూలాలు 2 మరియు -3 అయిన వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

మూలాల మొత్తం = 2 + (-3) = -1

మూలాల గుణలబ్ధం = 2 × (-3) = -6

సమీకరణం: x² - (-1)x + (-6) = 0 → x² + x - 6 = 0

✓ సమీకరణం: x² + x - 6 = 0

మధ్యస్థం మూలాలు α, β అయిన సమీకరణంలో α² + β² విలువ కనుక్కోండి ▾

3x² - 4x + 1 = 0 యొక్క మూలాలు α, β అయితే α² + β² కనుక్కోండి.

a=3, b=-4, c=1. α+β = 4/3, αβ = 1/3

α² + β² = (α+β)² - 2αβ = (4/3)² - 2(1/3)

= 16/9 - 2/3 = 16/9 - 6/9 = 10/9

✓ α² + β² = 10/9

EAPCET స్థాయి x² + px + q = 0 కు ఒక మూలం మరొక దాని రెట్టింపు అయితే 2p² = 9q నిరూపించండి ▾

x² + px + q = 0 సమీకరణంలో ఒక మూలం β = 2α అయితే 2p² = 9q అని నిరూపించండి.

మూలాలు α మరియు 2α. మొత్తం: α + 2α = 3α = -p → α = -p/3

గుణలబ్ధం: α · 2α = 2α² = q → α² = q/2

(-p/3)² = q/2 → p²/9 = q/2 → 2p² = 9q ✓

✓ నిరూపితమైంది: 2p² = 9q

ఉచ్చు ప్రశ్న k మానం కోసం x² - 5x + k = 0 కు రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి? ▾

x² - 5x + k = 0 సమీకరణానికి రెండు వాస్తవ అసమాన మూలాలు ఉండాలంటే k ఏ పరిధిలో ఉండాలి?

ఉచ్చు: చాలా మంది D > 0 పెట్టి సరిగ్గా చేస్తారు కానీ "సమాన మూలాల" కేసు విస్మరిస్తారు.

రెండు వాస్తవ అసమాన మూలాలకు D > 0 కావాలి: D = 25 - 4k > 0

25 > 4k → k < 25/4 = 6.25 → k < 6.25

k = 6.25 వద్ద సమాన మూలాలు (D=0). k > 6.25 కు సంకీర్ణ మూలాలు.

✓ రెండు వాస్తవ అసమాన మూలాలకు: k < 25/4

తప్పుల విశ్లేషణ

EAPCET లో పరీక్షార్థులు చేసే 4 ముఖ్యమైన తప్పులు — మరియు వాటిని ఎలా నివారించాలి.

🔣

α+β = b/a అని రాయడం — మైనస్ మరచిపోవడం

వియేటా సూత్రంలో α+β = -b/a. చాలా మంది మైనస్ సంకేతం మరచిపోతారు.

❌ తప్పు

2x²-5x+3=0 లో
α+β = b/a = -5/2 ✗
(b ఉన్నది -5, కానీ
సంకేతం తప్పు)

✓ సరైనది

α+β = -b/a
= -(-5)/2 = 5/2 ✓
ముందు మైనస్ రాయడం
అలవాటు చేసుకోండి

💡 α+β = -b/a ని "బి పై మైనస్" అని గుర్తుంచుకోండి. ఇది సంవత్సరానికి 1-2 ప్రశ్నలు నేరుగా తప్పించగలదు.

📐

D = √(b²-4ac) అని రాయడం

విభేదనం D = b²-4ac. వర్గమూలం D లో భాగం కాదు — ద్విఘాత సూత్రంలో √D ఉంటుంది.

❌ తప్పు

D = √(b²-4ac) ✗
పరీక్షలో D<0 అని
చెప్పినప్పుడు అయోమయం

✓ సరైనది

D = b²-4ac ✓
x = (-b ± √D)/2a ✓
D విలువ రుణాత్మకం
ఉండవచ్చు

💡 D = b²-4ac. ఇది రుణాత్మకం అయినప్పుడు మూలాలు సంకీర్ణంగా ఉంటాయి — అది తప్పు కాదు.

🔄

సమీకరణ నిర్మాణంలో సంకేతం తప్పు

x² - (α+β)x + αβ = 0 లో "-" సంకేతం మరచిపోవడం.

❌ తప్పు

మూలాలు 3, 5 అయితే
x² + (3+5)x + 15 = 0
x² + 8x + 15 = 0 ✗

✓ సరైనది

x² - (3+5)x + 15 = 0
x² - 8x + 15 = 0 ✓
మైనస్ సంకేతం
తప్పనిసరి

💡 సూత్రాన్ని "x² - (మొత్తం)x + (గుణలబ్ధం) = 0" అని గుర్తుంచుకోండి. మొత్తం ముందు మైనస్ అవసరం.

🎯

D ≥ 0 అయినా మూలాలు పరిమేయ అని తప్పుగా అనుకోవడం

D > 0 అయినప్పుడు మూలాలు వాస్తవం — కానీ అపరిమేయం (irrational) అయి ఉండవచ్చు.

❌ తప్పు

x²-3=0 లో D = 12 > 0
అయినా మూలాలు
±√3 (అపరిమేయం) ✗
పరిమేయ కాదు

✓ సరైనది

పరిమేయ మూలాలకు:
D > 0 మరియు
D పూర్ణ వర్గం ✓
x²-3=0: √12 పూర్ణ వర్గం కాదు

💡 పరిమేయ మూలాలకు రెండు షరతులు: D ≥ 0 మరియు D పూర్ణ వర్గం. రెండూ అవసరం.

అధ్యాయ తెలివిడి

వెయిటేజ్, PYQ నమూనాలు, మరియు పరీక్షా వ్యూహం.

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్ (2019-2024)

మూలాల స్వభావం (D)

వియేటా సూత్రాల అనువర్తనం

సమీకరణ నిర్మాణం

α² + β², α³ + β³ విలువలు

k విలువ కోసం పరిస్థితులు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

D > 0 / D = 0 / D < 0 స్వభావం α+β మరియు αβ కనుక్కోవడం α² + β² విలువ k మానం కోసం పరిస్థితి ఒక మూలం తెలిసినప్పుడు మరొకటి ప్రతి మూలాల సమీకరణం

పరీక్షా వ్యూహం

α+β మరియు αβ ను ముందే రాయండి. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించకుండా మిగిలిన అన్ని విలువలు కనుక్కోవచ్చు.
α² + β² = (α+β)² - 2αβ ను కంఠస్థం చేయండి — ఇది ప్రతి పరీక్షలో వస్తుంది.
k కోసం ప్రశ్నలు వస్తే: D పై పరిస్థితి పెట్టండి, అసమానతను పరిష్కరించండి.
సమీకరణ నిర్మాణంలో: మైనస్ సంకేతం మరచిపోవద్దు — x² - (మొత్తం)x + (గుణలబ్ధం) = 0.
ఒక మూలం మరింక ఒకదాని k రెట్లు అని ఉంటే: వియేటా ద్వారా α + kα మరియు α·kα రాసి తగ్గించండి.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!