వేక్టర్లు

భావన కోర్

వేక్టర్ — నిర్వచనం మరియు రకాలు

వేక్టర్ అంటే పరిమాణం మరియు దిశ రెండూ ఉన్న రాశి. a⃗ = a₁i+a₂j+a₃k

|a⃗| = √(a₁²+a₂²+a₃²) (మాడ్యులస్/పరిమాణం)

యూనిట్ వేక్టర్: â = a⃗/|a⃗|; |â| = 1

స్థాన వేక్టర్: P(x,y,z) కు OP⃗ = xi+yj+zk

వేక్టర్ కూడిక మరియు వ్యవకలనం

a⃗+b⃗ = (a₁+b₁)i+(a₂+b₂)j+(a₃+b₃)k

ka⃗ = ka₁i+ka₂j+ka₃k (స్కేలార్ గుణకారం)

విభాగ సూత్రం: AB ని m:n లో విభజించే P = (ma₂+na₁)/(m+n) (2D) లేదా అంతర్గత విభాగ సూత్రం

డాట్ గుణలబ్ధం (Dot Product)

a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

లంబ వేక్టర్లకు: a⃗·b⃗ = 0 (θ=90°)

సమాంతర వేక్టర్లకు: a⃗·b⃗ = ±|a⃗||b⃗| (θ=0° లేదా 180°)

cosθ = a⃗·b⃗ / (|a⃗||b⃗|)

క్రాస్ గుణలబ్ధం (Cross Product)

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗|sinθ (వైశాల్యం)

a⃗×b⃗ = |i j k; a₁ a₂ a₃; b₁ b₂ b₃| (నిర్ణాయకం)

a⃗×b⃗ = -b⃗×a⃗ (వినిమయ నియమం వ్యతిరేకం)

సమాంతర వేక్టర్లకు: a⃗×b⃗ = 0

వేక్టర్ ప్రొజెక్షన్

a⃗ ని b⃗ పై ప్రొజెక్షన్ = a⃗·b⃗/|b⃗|

a⃗ ని b⃗ దిశలో వేక్టర్ ప్రొజెక్షన్ = (a⃗·b⃗/|b⃗|²)b⃗

i⃗·i⃗=j⃗·j⃗=k⃗·k⃗=1; i⃗·j⃗=j⃗·k⃗=k⃗·i⃗=0

i⃗×j⃗=k⃗; j⃗×k⃗=i⃗; k⃗×i⃗=j⃗

స్కేలార్ త్రిపాద (Scalar Triple Product)

[a⃗ b⃗ c⃗] = a⃗·(b⃗×c⃗) = నిర్ణాయకం

భూ ఘనపరిమాణం = |[a⃗ b⃗ c⃗]|

సమతలీయ వేక్టర్లకు: [a⃗ b⃗ c⃗] = 0

క్రమ మార్పు: [a⃗ b⃗ c⃗] = [b⃗ c⃗ a⃗] = [c⃗ a⃗ b⃗]

సూత్ర వాల్ట్

వేక్టర్ మాడ్యులస్

|a⃗| = √(a₁²+a₂²+a₃²)

3D లో

యూనిట్ వేక్టర్

â = a⃗/|a⃗|

|â| = 1 ఎల్లప్పుడూ

డాట్ గుణలబ్ధం

a⃗·b⃗ = |a||b|cosθ = Σaᵢbᵢ

లంబ: a⃗·b⃗ = 0

క్రాస్ గుణలబ్ధం పరిమాణం

|a⃗×b⃗| = |a||b|sinθ

సమాంతర: a⃗×b⃗ = 0

రెండు వేక్టర్ల మధ్య కోణం

cosθ = a⃗·b⃗/(|a||b|)

θ ∈ [0,π]

సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం

|a⃗×b⃗|

త్రిభుజం: ½|a⃗×b⃗|

స్కేలార్ త్రిపాద

[a⃗ b⃗ c⃗] = a⃗·(b⃗×c⃗)

= నిర్ణాయకం

ప్రొజెక్షన్

a⃗·b⃗/|b⃗|

b⃗ పై a⃗ ప్రొజెక్షన్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

సులభం a⃗=2i-j+k, b⃗=i+2j-k మధ్య కోణం▾

a⃗=2i-j+k మరియు b⃗=i+2j-k మధ్య కోణం.

a⃗·b⃗ = 2(1)+(-1)(2)+(1)(-1) = 2-2-1 = -1

|a⃗| = √6; |b⃗| = √6. cosθ = -1/6 → θ = cos⁻¹(-1/6)

✓ θ = cos⁻¹(-1/6) ≈ 99.6° (అసూక్ష్మ కోణం)

మధ్యస్థం a⃗=i+2j, b⃗=2i+j అయిన సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం▾

a⃗=i+2j, b⃗=2i+j సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యం.

a⃗×b⃗ = |i j k; 1 2 0; 2 1 0| = i(0)-j(0)+k(1-4) = -3k

వైశాల్యం = |a⃗×b⃗| = 3 చ.యూ.

✓ వైశాల్యం = 3 చదరపు యూనిట్లు

EAPCET స్థాయి a⃗=i+j, b⃗=j+k, c⃗=k+i అయిన [a⃗ b⃗ c⃗] కనుక్కోండి▾

a⃗=i+j, b⃗=j+k, c⃗=k+i. [a⃗ b⃗ c⃗] = ?

[a⃗ b⃗ c⃗] = |1 1 0; 0 1 1; 1 0 1|

= 1(1-0)-1(0-1)+0 = 1+1 = 2

✓ [a⃗ b⃗ c⃗] = 2; భూ ఘనపరిమాణం = 2 ఘ.యూ.

ఉచ్చు ప్రశ్న a⃗×b⃗ = b⃗×a⃗ అని చెప్పవచ్చా?▾

a⃗×b⃗ మరియు b⃗×a⃗ మధ్య సంబంధం ఏమిటి?

a⃗×b⃗ = -b⃗×a⃗ (వ్యతిరేక దిశ)

|a⃗×b⃗| = |b⃗×a⃗| (పరిమాణం సమానం), కానీ దిశ వ్యతిరేకం

✓ a⃗×b⃗ = -b⃗×a⃗. పరిమాణం సమానం, దిశ వ్యతిరేకం.

సులభం a⃗=3i+4j అయిన యూనిట్ వేక్టర్▾

a⃗=3i+4j దిశలో యూనిట్ వేక్టర్ కనుక్కోండి.

|a⃗| = √(9+16) = √25 = 5

â = a⃗/|a⃗| = (3i+4j)/5 = 3i/5 + 4j/5

✓ â = (3i+4j)/5

తప్పుల విశ్లేషణ

↕️

a⃗×b⃗ = b⃗×a⃗ అని అనుకోవడం

క్రాస్ గుణలబ్ధం వినిమయ నియమం పాటించదు — a⃗×b⃗ = -b⃗×a⃗.

❌ తప్పు

a⃗×b⃗ = b⃗×a⃗ ✗
(స్కేలార్ లాగా)

✓ సరైనది

a⃗×b⃗ = -b⃗×a⃗ ✓
క్రమం మారితే
దిశ వ్యతిరేకం

💡 a⃗·b⃗ = b⃗·a⃗ (వినిమయం వర్తిస్తుంది). a⃗×b⃗ = -b⃗×a⃗ (వినిమయం వ్యతిరేకం).

🎯

a⃗·b⃗ = 0 → ఒకటి శూన్యం అని అనుకోవడం

a⃗·b⃗ = 0 అంటే a⃗ మరియు b⃗ లంబంగా ఉన్నాయి (రెండూ శూన్యం కాదు).

❌ తప్పు

a⃗·b⃗ = 0 → |a⃗| = 0
లేదా |b⃗| = 0 ✗

✓ సరైనది

a⃗·b⃗ = |a||b|cos90° = 0 ✓
a⃗ ⊥ b⃗ అంటే
లంబ వేక్టర్లు

💡 a⃗·b⃗ = 0 → a⃗ ⊥ b⃗. ఒకటి శూన్య వేక్టర్ అయినా అవుతుంది, కానీ సాధారణంగా లంబ వేక్టర్లు.

🔺

త్రిభుజ వైశాల్యం = |a⃗×b⃗| అని రాయడం

సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = |a⃗×b⃗|. త్రిభుజం = ½|a⃗×b⃗|.

❌ తప్పు

త్రిభుజ వైశాల్యం
= |a⃗×b⃗| ✗
(½ మరచిపోయారు)

✓ సరైనది

త్రిభుజం = ½|a⃗×b⃗| ✓
సమాంతర చతుర్భుజం
= |a⃗×b⃗| ✓

💡 త్రిభుజం సమాంతర చతుర్భుజంలో సగం. కాబట్టి వైశాల్యం = ½|a⃗×b⃗|.

📐

3D వేక్టర్లో z-భాగం విస్మరించడం

a⃗=i+2j అయితే 3D లో a₃=0 — k భాగం శూన్యం.

❌ తప్పు

a⃗=i+2j, b⃗=3j+k:
a⃗·b⃗ = 1×3+2×1 = 5 ✗
(z భాగాలు తప్పు)

✓ సరైనది

a⃗=(1,2,0), b⃗=(0,3,1)
a⃗·b⃗ = 0+6+0 = 6 ✓
శూన్య z-భాగం గుర్తుంచుకోండి

💡 i+2j అంటే 3D లో (1,2,0). డాట్ గుణలబ్ధం మూడు పదాలు: a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃.

అధ్యాయ తెలివిడి

EAPCET అంశాల వెయిటేజ్

డాట్ గుణలబ్ధం/కోణాలు

క్రాస్ గుణలబ్ధం/వైశాల్యాలు

స్కేలార్ త్రిపాద/ఘనపరిమాణం

ప్రొజెక్షన్లు

అధిక మార్కుల PYQ నమూనాలు

రెండు వేక్టర్ల మధ్య కోణం లంబ వేక్టర్ నిర్ణయం (a⃗·b⃗=0) సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం స్కేలార్ త్రిపాద — ఘనపరిమాణం

పరీక్షా వ్యూహం

a⃗·b⃗ = 0 → లంబ వేక్టర్లు. a⃗×b⃗ = 0 → సమాంతర వేక్టర్లు.
వైశాల్యాలు: సమాంతర చతుర్భుజం = |a⃗×b⃗|, త్రిభుజం = ½|a⃗×b⃗|.
స్కేలార్ త్రిపాద [a⃗ b⃗ c⃗] = 0 అంటే వేక్టర్లు సమతలీయం.
i⃗×j⃗=k⃗, j⃗×k⃗=i⃗, k⃗×i⃗=j⃗ — చక్రీయ క్రమం.

భావన కోర్

సూత్ర వాల్ట్

పరిష్కృత ఉదాహరణలు

తప్పుల విశ్లేషణ

అధ్యాయ తెలివిడి

💡 Suggestions & Feedback

Thank you!